1  ^?? Определите температуру воздуха в цилиндре $T_1$ в момент остановки поршня при объеме $V_0$, а также после освобождения поршня и прекращения его движения $T_2$.

Внутри воздух находится при давлении $p_0-\Delta{p}$. Закон сохранения энергии для этой порции учетом работы сил атмосферного давления $A_{внеш1}=p_0V_1$ и работы газа внутри цилиндра при перемещении поршня $A_{газ1}=(p_0-\Delta{p})V_0$ выглядит так:
$$\frac{5p_0V_1}{2}+p_0V_1-(p_0-\Delta{p})V_0=\frac{5(p_0-\Delta{p})V_0}{2}{.}
$$
Отсюда:
$$V_1=\frac{p_0-\Delta{p}}{p_0}V_0=\frac{2V_0}{3}{.}
$$
Из уравнения состояния можно определить температуру воздуха внутри цилиндра $T_1$:
$$\frac{p_0V_1}{T_0}=\frac{(p_0-\Delta{p})V_0}{T_1}{,}
$$
откуда

Итак, температура воздуха в цилиндре после заполнения равна $T_0$. После освобождения поршня он совершает колебания, которые затухают из-за вязкого трения в газе. Пусть после остановки поршня объём воздуха под ним равен $V_0-\Delta{V}_1$. Работа внешнего давления над поршнем равна $p_0\Delta{V}_1$. Закон сохранения энергии:
$$\frac{5(p_0-\Delta{p})V_0}{2}+p_0\Delta{V}_1=\frac{5p_0(V_0-\Delta{V}_1)}{2}{.}
$$
Отсюда:
$$\Delta{V}_1=\frac{5\Delta{p}}{7p_0}V_0=\frac{5V_0}{21}{.}
$$
Из уравнения состояния
$$\frac{(p_0-\Delta{p})V_0}{T_1}=\frac{p_0(V_0-\Delta{V}_1)}{T_2}{.}
$$
Отсюда:

2  ^?? Определите и для этого случая температуру воздуха в цилиндре $T'_1$ после остановки поршня и заполнения цилиндра воздухом, и температуру $T'_2$ после освобождения поршня и прекращения его движения.

Отличие от первого случая состоит в том, что воздуха в цилиндре в процессе перемещения поршня нет и работа газа над поршнем $A_\text{газ2}$ равна нулю.
Закон сохранения энергии
$$\frac{5p_0V_2}{2}+p_0V_2=\frac{5(p_0-\Delta{p})V_0}{2}{,}
$$
откуда:
$$V_2=\frac{5(p_0-\Delta{p})}{7p_0}V_0=\frac{10V_0}{21}{.}
$$
Здесь $V_2$ – объем порции газа, переходящий снаружи в цилиндр, при $p_0$ и $T_0$. При использовании уравнения состояния получим
$$T_1'=\frac{(p_0-\Delta{p})V_0T_0}{p_0V_2}{,}
$$
или:

После освобождения поршня аналогично первому случаю
$$\Delta{V}_2=\frac{5\Delta{p}}{7p_0}=\frac{5p_0}{21}{.}
$$
Уравнение состояния дает:
$$T_2'=\frac{8T_1'}{7}{,}
$$
откуда: