1  ^?? Какие значения может принимать величина заряда шарика $q$?

Из теоремы Гаусса напряженность электрического поля заряженной цилиндрической поверхности определяется формулой
$$E=\cfrac{\sigma R}{\varepsilon_0 r}{,}
$$
где $r$ – расстояние от оси трубы.
При натянутой прямой нити шарик находится на дуге окружности радиуса $R$ с центром в точке крепления нити. Если нить составляет угол $\alpha$ с вертикалью,
расстояние от конца нити до оси цилиндра $r = 2 R \cos \cfrac{\alpha}{2}$.
Напряженность электрического поля в точке, где находится шарик, равна
$$E=\cfrac{\sigma}{2\varepsilon_0\cos\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)}{.}
$$

Возможны два типа положений равновесия: либо нить вертикальна, либо нить наклонена под некоторым углом к вертикали. Рассмотрим возможные значения заряда в каждом из этих случаев. Поскольку в начальном состоянии нить не была натянута, шарик должен оказаться в устойчивом положении равновесия. Сколь угодно малые отклонения от неустойчивого положения равновесия приведут к тому, что шарик перейдет в другое положение равновесия.

Рассмотрим сначала случай, когда нить расположена вертикально, $\alpha = 0.$ Тогда сила натяжения нити равна $T = qE - mg = \displaystyle\frac{\sigma q}{2 \varepsilon_0} - mg$. Это положение равновесия возможно, если $T > 0$, то есть
$$
\sigma q > 2 \varepsilon_0 mg.
$$
Исследуем его устойчивость. Пусть нить отклонится от вертикали на малый угол $\varphi$. Проекция силы на ось $x$, которая перпендикулярна текущему направлению нити, равна
$$
F_x = mg \sin \varphi - qE \sin \frac{\varphi}{2} \approx \left(mg- \frac{q\sigma}{4 \varepsilon_0} \right) \varphi.
$$
Положение равновесия будет устойчивым, если при отклонении нити на малый угол возникающая сила будет стремиться вернуть ее назад, то есть при $\varphi >0$ должно быть $F_x < 0$, а значит условие устойчивости
$$
\sigma q > 4 \varepsilon_0 mg,
$$
и при вертикальной нити возможны только такие значения заряда.

В этом случае проекция силы на ось $x$:
$$
F_x = mg \sin \alpha - qE \sin \frac{\alpha}{2} = mg \sin \alpha - \frac{q \sigma}{2 \varepsilon_0} \tan \frac{\alpha}{2}.
$$
В положении равновесия эта сила равна нулю, откуда можно получить прежнее выражение для $\sigma q$. Вблизи положения равновесия, когда угол отклонения нити от вертикали равен $\alpha + \varphi$ ($\varphi \ll 1$), сила имеет вид
$$F_x=-\left(\cfrac{q\sigma}{2\varepsilon_0}\cdot{\tan\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)}-mg\sin\alpha\right)'\varphi=
$$
$=-\left(\cfrac{q\sigma}{4\varepsilon_0 \cos^2\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)}-mg\cos\alpha\right)\varphi=-mg(1-\cos\alpha)\varphi{,}$

поскольку $q\sigma=4\varepsilon_0mg\cos^2\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)$.
Коэффициент перед угловым отклонением отрицателен, поэтому положение равновесия устойчиво.

Модуль заряда шарика уменьшается с возрастанием угла $\alpha$. Максимальное значение угла $\alpha$, соответствующее условию задачи: $\alpha_{max}=90^{\circ}$, достигается при наименьшей величине модуля заряда шарика $|q_1|=\displaystyle\cfrac{2\varepsilon_0mg}{|\sigma|}$ . В этом случае векторы сил образуют равнобедренный прямоугольный треугольник.
Это значение заряда меньше значения, при котором вертикальное положение равновесия становится устойчивым. Поэтому минимальному значению заряда отвечает горизонтальное положение нити.

Таким образом, при $q_1 \le |q| < 2 q_1$ есть устойчивое положение равновесия с нитью, расположенной под некоторым углом к вертикали, а при $|q| \ge 2 q_1$ устойчиво вертикальное положение нити.
Окончательно ответ на первый вопрос:

2  ^?? Определите величину силы натяжения нити при значениях заряда, полученных в первом пункте, и постройте график этой зависимости $T(q)$ с указанием характерных точек и участков.

Будем плавно увеличивать модуль заряда от $q_1$. При достаточно малых значениях заряда устойчивым будет наклонное положение нити, а угол $\alpha$ будет уменьшаться с увеличением заряда. При этом сила натяжения нити постоянна и равна $m g$. Когда модуль заряда достигнет значения $q_2 = 2 q_1$, нить расположится вертикально.
Если продолжить увеличивать модуль заряда от $q_2$, то вертикальное положение нити будет сохраняться и сила натяжения нити будет линейно расти с зарядом:
$$T=\cfrac{q\sigma}{2\varepsilon_0}-mg.
$$
Строим график, состоящий из горизонтального прямого отрезка и наклонного луча. Учитывая, что знак заряда может быть как положительным, так и отрицательным, часть графика, расположенная в первом квадранте соответствует случаю $\sigma > 0$, а расположенная во втором - $\sigma < 0$.

3  ^?? Пусть модуль заряда шарика $|q|$, причем $|q|>\displaystyle\frac{2\varepsilon_0mg}{|\sigma|}$. Определите период малых гармонических колебаний шарика, происходящих в плоскости рисунка.

При $\cfrac{q\sigma}{\varepsilon_0mg}\geq{4}$ устойчиво положение равновесия $\alpha = 0^\circ$,
а при $2<\cfrac{q\sigma}{\varepsilon_0mg}<{4}$ устойчиво равновесие с $\alpha_2=\arccos{\left(\cfrac{q\sigma}{2\varepsilon_0mg}-1\right)}$.
Для случая $\alpha_1=0^{\circ}$ при отклонении шарика на малый угол $\varphi$ от положения равновесия возникает возвращающая сила, проекция которой на ось $x$, перпендикулярную нити равна:
$$F_x=-\left(\cfrac{q\sigma}{4\varepsilon_0}-mg\right)\sin\varphi{.}
$$
Проекция ускорения шарика $a_x=R\ddot{\varphi}$. С учетом малости $\varphi$ получаем уравнение гармонических колебаний:
$$mR\ddot{\varphi}=-\left(\cfrac{q\sigma}{4\varepsilon_0}-mg\right)\varphi{.}
$$
Циклическая частота в этом случае
$$\omega^2_1=\cfrac{q\sigma}{4mR\varepsilon_0}-\cfrac{g}{R}{.}
$$
Рассмотрим гармонические колебания для второго положения устойчивого равновесия.
В этом случае возвращающая сила
$$F_x=-mg(1-\cos\alpha)\varphi{,}
$$
Подставляя $\cos\alpha=2\cos^2\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)-1$ в уравнение $ma_x=F_x$, получим:
$$mR\ddot{\varphi}=-2\left(mg-\cfrac{q\sigma}{4\epsilon_0}\right)\varphi{.}
$$
Окончательно для циклической частоты:
$$\omega^2_2=\cfrac{2g}{R}-\cfrac{q\sigma}{2\varepsilon_0 m R}{.}
$$
Ответ для периодов колебаний:

$$\large{\textbf{Альтернативное решение}}
$$
Поскольку потенциал поля цилиндра $\varphi=-\cfrac{\sigma R}{\varepsilon_0}\ln\left(\cfrac{r}{R}\right)$ - потенциальная энергия заряда равна:
$$W_p=-\cfrac{q\sigma R}{\varepsilon_0}\ln\left(\cfrac{r}{R}\right)+mgR\cos\alpha=mgR\left(\cos\alpha-\cfrac{q\sigma}{mg\varepsilon_0}\ln\left(2\cos\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)\right)\right)
$$
Положения равновесия определяются из условия $U'=0$ (производная по углу здесь и далее обозначается штрихом), т.е
$$U'=mgR\tan\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)\left(\cfrac{\sigma q}{2mg\varepsilon_0}-2\cos^2\left(\cfrac{\alpha}{2}\right)\right)\Rightarrow{\alpha_1=0^{\circ}\quad\alpha_2=\arccos\left(\cfrac{q\sigma}{2mg\varepsilon_0}-1\right)}
$$
Для второй производной имеем:
$$U^{''}=mgR\left(\cfrac{q\sigma}{2mg\varepsilon_0(1+\cos\alpha)}-\cos\alpha\right)
$$
Последняя доказывает, что положение равновесия $1$ устойчиво $\left(U^{''}>0\right)$ при $q>\cfrac{4\varepsilon_0mg}{\sigma}$, а положение равновесия $2$ с ненулевым $\alpha$ существует при $\cfrac{2\varepsilon_0mg}{\sigma}\leq{q}<\cfrac{4\varepsilon_0mg}{\sigma}$.
Из закона сохранения энергии имеем:
$$\cfrac{mR^2\dot{\varphi}^2}{2}+\cfrac{U^{''}\varphi^2}{2}=E
$$
откуда найдём:
$$\omega^2=\cfrac{U^{''}}{mR^2}
$$
Тогда циклические частоты принимают следующие значения:
$$\omega^2_1=\cfrac{q\sigma}{4\varepsilon_0mR}-\cfrac{g}{R}\quad\text{и}\quad\omega^2_2=\cfrac{2g}{R}-\cfrac{q\sigma}{2\varepsilon_0mR}
$$
Случай $q=\cfrac{4\varepsilon_0mg}{\sigma}$ является критическим. Для $\alpha\ll{1}$ имеем:
$$W_p\approx{mgR\left(1-\ln(2)+\cfrac{\alpha^4}{16}+o\left(\alpha^6\right)\right)}
$$
В критическом случае равновесие является устойчивым, однако колебания являются ангармоническими!