При движении частицы возникает составляющая силы взаимодействия с Солнечным излучением, направленная против вектора скорости частицы. Поясним это.
Солнце, как и частица, излучает изотропно, следовательно, фотоны в неподвижной в системе отсчёта частицы движутся вдоль радиальных направлений. В системе отсчёта частицы возникает аберрация солнечного излучения, и вектор скорости фотонов поворачивается на угол $\phi=\frac{v}{c}\ll1$, где $v$ - скорость частицы в данный момент времени. Поскольку $v \ll c$, эффект Доплера, а также различие импульсов фотонов в неподвижной системе отсчёта и в собственной можно не учитывать, поскольку это слабо скажется на нужной нам составляющей силы взаимодействия частицы с Солнечным излучением.
Перейдём к поиску тормозящей силы. Полная сила взаимодействия частицы с солнечным излучением равняется
$$F(l)=\frac{I(l)}{c}\pi{r}^2
$$
Из сохранения потока энергии найдём $E(l)$
$$I(l)=I_0\frac{R^2}{l^2}
$$
Тогда выражения для тормозящей силы $F_\tau=-F\phi$
$$F_\tau=-\frac{I_0{R}^2\pi{r}^2v}{l^2c^2}
$$
Запишем закон изменения момента импульса для частицы
$$\frac{dL}{dt}=m\frac{d(lv)}{dt}=m(l\frac{dv}{dt}+v\frac{dl}{dt})=F_\tau{l}
$$
Сила взаимодействия с с солнечным излучением мала по сравнению с силой гравитационного взаимодействия, поэтому можно считать, что в любой момент частица движется по круговой орбите. Из второго закона Ньютона получим
$$m\frac{v^2}{l}=\frac{GM_c}{l^2}
$$
Из последнего равенства следует, что $v^2l=const$. Дифференцируя
$$2l\frac{dv}{dt}+v\frac{dl}{dt}=0
$$
Из закона изменения момента импульса и последнего соотношения получаем
$$\frac{mv}{2}\frac{dl}{dt}=-\frac{I_0{R}^2\pi{r}^2v}{lc^2}
$$
Проинтегрировав последнее уравнение, получим зависимость прошедшего времени от радиуса круговой орбиты
$$t=\frac{mc^2(R^2-l^2)}{4I_0{R}^2\pi{r}^2}=\frac{\rho{r}c^2}{3I_0}(1-\frac{l^2}{R^2})
$$
По условию радиус солнца много меньше $R$, поэтому при поиске $T$ можно пренебречь $\frac{{R_c}^2}{R^2}$.
Таким образом, получаем