В задаче изучаются невязкие жидкости и их течение. Оно одномерное. Считайте, что трубы и клапаны жесткие, однако сжимаемость жидкости нужно иногда учитывать. Пусть элемент жидкости объема $V_0$ находится в равновесии при давлении $P_0$. Тогда если давление изменится на $\Delta P$, то его объем изменится на $\Delta V$, и он будет пропорционален $\Delta P$: \[\Delta P = -B~ \frac{\Delta V}{V_0},\] где $B$ — модуль всестороннего сжатия жидкости. Для воды можно считать, что плотность в состоянии равновесия равна $\rho_0=1.0\cdot 10^3~кг/м^3$ и $B=2.2~ГПа$.
По цилиндрической трубе длины $L$ в установившемся режиме течет вода в направлении $+x$. Ее скорость $v_0$, плотность $\rho_0$ и давление $P_0$. Как показано на рисунке 1, труба соединена с резервуаром глубины $h$, а второй конец трубы открывается в атмосферу, где давление равно $P_a$.
Пусть клапан на конце трубы мгновенно закрывают, и прилегающий к клапану элемент воды испытывает скачок давления $\Delta P_{\mathrm{s}} \equiv P_1-P_0$ и скорости $\Delta v =v_1-v_0$, причем $v_1 \le 0$. Это вызывает продольную волну избыточного давления $\Delta P_{\mathrm{s}}$, распространяющуюся в направлении $-x$ со скоростью $c$.
На рисунке 2 показана модель клапана $\mathrm{T}$ и поток жидкости через него. Клапан представляется в виде короткого отрезка $\Delta L$, радиуса $R$ на конце $A$ трубы. Выходное отверстие клапана имеет коническую форму, радиус суженной части равен $r$. Клапан открывается в атмосферу, где давление равно $P_a$. Силой тяжести, действующей на текущую жидкость, можно пренебречь.
Жидкость считать несжимаемой, а поток установившимся. Элемент жидкости на входе в клапан имеет скорость $v_{\mathrm{in}}$, давление $P_{\mathrm{in}}$ и плотность $\rho_0$. На рисунке 2 линии тока и нормали к ним приведены только в качестве иллюстрации общей картины потока.
Известно, что после выхода струи из клапана в атмосферу, ее сечение будет уменьшаться, пока не достигнет минимального значения, когда линии тока оказываются снова параллельными. В этот момент скорость потока равна $v_c$, а радиус сечения потока равен $r_{\mathrm{c}}=r\sqrt C_{\mathrm{c}}$. Здесь $C_{\mathrm{c}}$ — коэффициент сжатия, и он зависит от отношения $r/R$ и угла $\beta$. Зависимость приведена в Таблице 1.
$r/R$ $C_{\mathrm{c}}~(\beta=45^\circ)$ $C_{\mathrm{c}}~(\beta=90^\circ)$ $0.00$ $0.746$ $0.611$ $0.20$ $0.747$ $0.616$ $0.30$ $0.748$ $0.622$ $0.40$ $0.749$ $0.631$ $1.00$ $1.000$ $1.000$
Во всех заданиях частей C и D рассматривается система труба-резервуар, приведенная на рисунке 1. Также используйте следующие предположения:
Рассмотрим снова систему труба-резервуар (Рис. 1). Если перегородить поток (полностью или частично закрыв клапан), возникнет волна давления, распространяющаяся в обратном направлении. Она отразится от конца $\rm B$ трубы, вернется к клапану и отразится от него. Таким образом, возникнет другая волна, и описанный процесс повторится. Поэтому наблюдается серия всплесков и падений давления, испытываемого элементом жидкости вблизи клапана. Это и называется гидравлическим ударом
.
C2 1.20 Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление $P_0$ и скорость $v_0$). Затем в $t=0$ клапан мгновенно перекрывают ($r=0$). Волна давления распространяется к резервуару со скоростью $c$. Давление $P_h=P_0+\rho_0gh$. Пусть $\tau =2L/c$. Чему равны давления $P(t)$ и скорости потока $v(t)$ в трубе, когда $t$ очень близко к $\tau/2$ и $\tau$?
Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление $P_0$ и скорость $v_0$). Теперь клапан закрывается медленно. Чтобы смоделировать процесс закрытия, разобьем его на шаги.
Начиная с момента времени $t=0$, и далее каждые $\tau=2L/c$ происходит мгновенное изменение радиуса $r$ клапана. Сразу после каждого изменения радиуса поток вблизи клапана считайте установившимся (как в части B ). Таким образом, давление и скорость потока вблизи клапана отличаются от этих величин в остальных частях трубы.
Для каждого шага $n$ в Таблице 2 приведены значения длительности этого шага и значение радиуса $r_n$. Также указаны обозначения давления в жидкости $P_n$ и скорости потока $v_n$ вблизи клапана.
Шаг $n$ Временной интервал шага $n$ Отношение $r_n/R$ Давление у клапана в $t=(n-1)\tau$ Скорость потока у клапана в $t=(n-1)\tau$ $n=0$ $t$ <$~0$ $1.00$ $P_0$ $v_0$ $n=1$ $0\le t$ <$~\tau$ $0.40$ $P_1$ $v_1$ $n=2$ $\tau\le t$ <$~2\tau$ $0.30$ $P_2$ $v_2$ $n=3$ $2\tau\le t$ <$~3\tau$ $0.20$ $P_3$ $v_3$ $n=4$ $3\tau\le t$ <$~4\tau$ $0.00$ $P_4$ $v_4=0$
Плотность жидкости $\rho_0$ и скорость распространения волны $c$ можно считать постоянными. Пусть $n =0,1,2,3,4$. Определим $\Delta P_n =P_n-P_0$ и $\Delta v_n=v_n-v_0$.
Работайте в приближении, что $P_h =P_0$.
D2 2.00 Используйте результаты пункта D1 для потока, движущегося со скоростью $v_0=4.0~м/с$.
На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$.
Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n, \Delta P_n)$ для всех $n$.
Из графика оцените значения $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$.