Logo
Logo

Гидравлический удар

В этой задаче изучается поведение давления в жидкости, связанное с волнами в трубе. В заданиях рассматривается гидравлический удар, который проявляется при медленном и быстром перекрытии управляющих клапанов.
В задаче изучаются невязкие жидкости и их течение. Оно одномерное. Считайте, что трубы и клапаны жесткие, однако сжимаемость жидкости нужно иногда учитывать. Пусть элемент жидкости объема $V_0$ находится в равновесии при давлении $P_0$. Тогда если давление изменится на $\Delta P$, то его объем изменится на $\Delta V$, и он будет пропорционален $\Delta P$:
$$\Delta P = -B  \frac{\Delta V}{V_0}$$
где $B$ -- модуль всестороннего сжатия жидкости. Для воды можно считать, что плотность в состоянии равновесия равна$\rho_0=1.0\times 10^3 \rm кг/м^3 $ и $B=2.2  \rm ГПа$.
Часть A. Избыточное давление и распространение волны давления (2.2 балла)
По цилиндрической трубе длины $L$ в установившемся режиме течет вода в направлении $+x$. Ее скорость $v_0$, плотность $\rho_0$ и давление $P_0$. Как показано на рисунке 1, труба соединена с резервуаром глубины $h$, а второй конец трубы открывается в атмосферу, где давление равно $P_a$.
Пусть клапан на конце трубы мгновенно закрывают, и прилегающий к клапану элемент воды испытывает скачок давления $\Delta P_{\rm s} \equiv P_{\rm1} -P_{\rm 0}$ и скорости $\Delta v =v_1- v_0$, причем $v_{\rm1} \le 0$. Это вызывает продольную волну избыточного давления $\Delta P_{\rm s}$, распространяющуюся в направлении $-x$ со скоростью $c$.
A1  1.60 Избыточное давление $\Delta P_{\rm s}$ и скачок скорости $\Delta v$ связаны следующим образом: $\Delta P_{\rm s} = \alpha \rho_0 c \Delta v$. Скорость распространения $c$ представима в виде $c = \beta + \sqrt{\gamma B/\rho_0}$.

Найдите $\alpha, \beta$ и $\gamma$.
A2  0.60 Рассчитайте $c$ и $\Delta P_s$, если параметры течения воды следующие: $v_0=4.0 {\rm м/с}$ и $v_1 = 0$.
Часть B. Модель клапана, управляющего потоком (1 балл)
На рисунке 2 показана модель клапана $\rm {T}$ и поток жидкости через него. Клапан представляется в виде короткого отрезка $\Delta L$, радиуса $R$ на конце $A$ трубы. Выходное отверстие клапана имеет коническую форму, радиус суженной части равен $r$. Клапан открывается в атмосферу, где давление равно $P_a$. Силой тяжести, действующей на текущую жидкость, можно пренебречь.
Жидкость считать несжимаемой, а поток установившимся. Элемент жидкости на входе в клапан имеет скорость $v_{\rm in}$, давление $P_{\rm in}$ и плотность $\rho_0$. На рисунке 2 линии тока и нормали к ним приведены только в качестве иллюстрации общей картины потока.
Известно, что после выхода струи из клапана в атмосферу, ее сечение будет уменьшаться, пока не достигнет минимального значения, когда линии тока оказываются снова параллельными. В этот момент скорость потока равна $v_c$, а радиус сечения потока равен $r_{\rm c} =r\sqrt C_{\rm c}$. Здесь $ C_{\rm c}$ -- <strong>коэффициент сжатия</strong>, и он зависит от отношения $r/R$ и угла $\beta$. Зависимость приведена в Таблице 1.
$r/R$$C_c~(\beta=45^\circ)$$C_c~(\beta=90^\circ)$
0.000.7460.611
0.200.7470.616
0.300.7480.622
0.400.7490.631
1.001.0001.000
B1  1.00 Найдите избыточное давление $\Delta P_{\rm in} =P_{\rm in}-P_{\rm a}$ на входе в клапан, где линии тока параллельны. Ответ выразите через $\rho_0$, $v_{\rm in}$, $r$, $R$ и $C_c$.
Во всех заданиях частей C и D рассматривается система труба-резервуар, приведенная на рисунке 1. Также используйте следующие предположения:
Часть С. Гидравлический удар при быстром закрытии клапана (1.8 балла)
Рассмотрим снова систему труба-резервуар (рис. 1). Если перегородить поток (полностью или частично закрыв клапан), возникнет волна давления, распространяющаяся в обратном направлении. Она отразится от конца $\rm B$ трубы, вернется к клапану и отразится от него. Таким образом, возникнет другая волна, и описанный процесс повторится. Поэтому наблюдается серия всплесков и падений давления, испытываемого элементом жидкости вблизи клапана. Это и называется <strong>гидравлическим ударом</strong>.
C1  0.60 Найдите давление $P_0$ и скорость $v_0$ установившегося потока в трубе, когда клапан $\rm T$ полностью открыт ($r=R$) (см. рис. 1 и 2). Ответ выразите через $\rho_0, g, h$ и $P_{\rm a}$.
C2  1.20 Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление $P_0$ и скорость $v_0$). Затем в $t=0$ клапан мгновенно перекрывают ($r = 0$). Волна давления распространяется к резервуару со скоростью $c$. Давление $P_h=P_0+\rho_0gh$. Пусть $\tau =2L/c$. Чему равны давления $P(t)$ и скорости потока $v(t)$ в трубе, когда $t$ очень близко к $\tau/2$ и $\tau$?
Часть D. Гидравлический удар при медленном закрытии клапана (5.0 баллов)
Рассмотрим установившийся поток, описанный в пункте C1 (давление $P_0$ и скорость $v_0$). Теперь клапан закрывается медленно. Чтобы смоделировать процесс закрытия, разобьем его на шаги.
Начиная с момента времени $t=0$, и далее каждые $\tau=2L/c$ происходит мгновенное изменение радиуса $r$ клапана. Сразу после каждого изменения радиуса поток вблизи клапана считайте установившимся (как в части B). Таким образом, давление и скорость потока вблизи клапана отличаются от этих величин в остальных частях трубы.
Для каждого шага $n$ в таблице 2 приведены значения длительности этого шага и значение радиуса $r_n$. Также указаны обозначения давления в жидкости $P_n$ и скорости потока $v_n$ вблизи клапана.
Шаг $n$Временной интервал шага $n$Отношение $r_n/R$Давление у клапана в $t=(n-1)\tau$Скорость потока у клапана в $t=(n-1)\tau$
$n=0$ $t$ <$~0$1.00$P_0$$v_0$
$n=1$ $0\le t$ <$~\tau$0.40$P_1$$v_1$
$n=2$ $\tau\le t$ <$~2\tau$0.30$P_2$$v_2$
$n=3$ $2\tau\le t$ <$~3\tau$0.20$P_3$$v_3$
$n=4$ $3\tau\le t$ <$~4\tau$0.00$P_4$$v_4=0$
Плотность жидкости $\rho_0$ и скорость распространения волны $c$ можно считать постоянными. Пусть $n =0,1,2,3,4$. Определим $\Delta P_n =P_n-P_0$ и $\Delta v_n =v_n-v_0$.

Работайте в приближении, что $P_h =P_0$.
D1  3.00 Выразите $\Delta P_n/(\rho_0 c)$ через $\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)$, $v_{n-1}$ и $v_n$. Выражение должно быть справедливо для всех $n>0$, приведенных в таблице 2.

Для $n=1,2,3$ получите также выражение для расчета $v_n$, если $v_{n-1}$ и $\Delta P_{n-1}/(\rho_0 c)$ известны.
D2  2.00 Используйте результаты пункта D1 для потока, движущегося со скоростью $v_0=4.0 {\rm м/с}$.

На миллиметровке в листах ответов постройте график зависимости $\Delta P$ от $\rho_0cv$. Точки пересечения ваших отрезков и участков кривых должны давать координаты $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ для $n=1,2,3,4$.

Подпишите точки пересечения $(\rho_0cv_n,\Delta P_n)$ для всех $n$.

Из графика оцените значения $\rho_0cv_n$ и $\Delta P_n$ (все в МПа) для $n=1,2,3,4$.