Pho.rs: Проводники в магнитном поле

Условие

Edu

X24

Если проводник находится в переменном магнитном поле, либо движется в неоднородном магнитном поле — в нём возникает электрический ток. Возникновение электрического тока в проводниках является следствием явления электромагнитной индукции и достаточно хорошо изучено. В частности, эффект возникновения электрического тока в проводниках приводит к эффекту так называемого «магнитного торможения», который многим из вас наверняка приходилось наблюдать вживую.

В данной задаче изучаются колебания проводящих тел с учётом влияния магнитного поля. Мы изучим два предельных перехода, соответствующие проводящим телам:

Удельное сопротивление $\rho$ проводника настолько велико, что явлением самоиндукции можно пренебречь при определении токов Фуко, возникающих в проводнике. Данному предельному переходу посвящены части $A$, $B$ и $C$ данной задачи.
Удельное сопротивление $\rho$ проводника настолько мало, что его можно принять равным нулю, а силовые линии индукции магнитного поля можно считать «вмороженными» в проводящее тело. Данному предельному переходу посвящена часть $D$ данной задачи, в описании которой эффект вмороженности силовых линий индукции магнитного поля в проводник будет описан детально.

Часть A. Свободные колебания с затуханием (1.2 балла)

Рассмотрим вертикальный пружинный маятник, состоящий из невесомой пружины с коэффициентом жёсткости $k$, один конец которой закреплён, а к другому концу прикреплён груз массой $m$. При движении со скоростью $\vec{v}$ на него действует сила сопротивления $\vec{F}_{с}=-\beta\vec{v}$, где $\beta$ — известная постоянная величина.
Введём ось $x$, направленную вдоль пружины так, что при увеличении координаты $x$ груза длина пружины уменьшается, а в положении равновесия координата груза $x_0=0$. Во всех пунктах частей $\mathrm{A}$-$\mathrm{C}$ шар перемещается только по вертикали.
Также введём обозначения:
$$\gamma=\cfrac{\beta}{2m}\qquad \omega_0=\sqrt{\cfrac{k}{m}}\quad \gamma<\omega_0{.}
$$

A1 ^0.60 Пусть момент времени $t_0=0$ груз находится в начале координат, а проекция его скорости на ось $x$ равна $v_0$. Определите зависимости координаты $x(t)$ и скорости $v_x(t)$ груза от времени $t$. Ответ выразите через $v_0$, $\gamma$, $\omega_0$ и $t$.

Пусть $E_0$ — кинетическая энергия груза при прохождении начала координат, а $E_1$ — кинетическая энергия груза при последующем прохождении начала координат с тем же направлением скорости. Определим добротность $Q$ колебательной системы следующим образом:
$$Q=\cfrac{2\pi E_0}{E_0-E_1}{.}
$$

A2 ^0.40 Получите точное выражение для $Q$. Ответ выразите через $\omega_0$ и $\gamma$.

A3 ^0.20 Получите приближённое выражение для добротности $Q$ при слабом затухании ($\gamma\ll\omega_0$).
Ответ выразите через $m$, $k$ и $\beta$.

Часть B. Вынужденные колебания (1.2 балла)

Рассмотрим пружинный маятник из части $\mathrm{A}$ задачи. Координата $x_1$ второго конца пружины (к которому не прикреплён груза) изменяется по следующему закону:
$$x_1(t)=x_{1(0)}+A_0\sin\Omega t{,}
$$
где $A_0>0$, а $x_{1(0)}$ соответствует состоянию покоя груза.
Далее рассматривайте только установившийся режим движения под действием вынуждающей силы. Используйте введённые ранее величины $\omega_0$ и $\gamma$.

B1 ^0.60 Отклонение $x$ груза от положения зависит от времени $t$ следующим образом:
$$x(t)=A\sin\left(\Omega t+\varphi_0\right)
$$
Найдите $A$ и $\varphi_0$. Ответы выразите через $A_0$, $\Omega$, $\omega_0$ и $\gamma$.

Будем называть резонансной такую циклическую частоту колебаний $\Omega_{рез}$, при которой амплитуда колебаний системы максимальна и обозначается как $A_{рез}$.

B2 ^0.30 Получите точные выражения для резонансной циклической частоты $\Omega_{рез}$ и соответствующей ей амплитуды колебаний $A_{рез}$. Ответы выразите через $\omega_0$, $\gamma$ и $A_0$. Считайте, что $\gamma\sqrt{2}<\omega_0$.

Шириной резонансной кривой $\Delta{\omega}$ называется разность максимальной и минимальной циклических частот $\Omega_{max}$ и $\Omega_{min}$ соответственно, при которых амплитуда колебаний меньше резонансной в $\sqrt{2}$ раз.

B3 ^0.30 Получите приближённые выражения для $\Omega_{рез}$, $A_{рез}$ и $\Delta{\omega}$ при слабом затухании ($\gamma\ll{\omega_0}$).
Ответы выразите через $A_0$, $\omega_0$ и $\gamma$.

Часть C. Влияние поля кольца на движение шара (4.2 балла)

Сплошной однородный шар массой $m$ и радиусом $R_0$ изготовлен из материала с большим удельным сопротивлением $\rho$. Его центр может перемещаться вдоль оси вращения кольца радиусом $R$, плоскость которого горизонтальна.
Силу тока в кольце медленно увеличивают до $I$ и далее поддерживают постоянной.
Для определения положения центра шара введём ось $x$ с началом в центре кольца, направленную вверх. Считайте, что диэлектрическая и магнитная проницаемости шара $\varepsilon$ и $\mu$ соответственно равны единице, а радиус шара $R_0$ удовлетворяет условиям:
$$R_0\ll{R{,}x}{.}
$$

Из общефизических соображений ясно, что при движении шара со скоростью $\vec{v}$ вдоль оси вращения кольца действующая на него со стороны кольца сила имеет вид:
$$\vec{F}=-\beta(x)\vec{v}{,}
$$
где $\beta(x)$ — коэффициент пропорциональности, зависящий от координаты $x$ центра шара.

Начнём с изучения магнитного поля кольца.

C1 ^0.30 Найдите индукцию $B_x$ магнитного поля кольца на его оси в точке с координатой $x$.
Ответ выразите через $x$, $R$, $I$ и магнитную постоянную $\mu_0$.

Рассмотрим исходный шар радиусом $R_0$ с удельным сопротивлением $\rho$, находящийся в однородном магнитном поле $\vec{B}=\vec{e}_xB$. Не изменяя направления, величину магнитного поля изменяют со скоростью $dB/dt=\dot{B}$.
Выделим в шаре диск радиусом $r_0$ и толщиной $h\ll{r_0}$, основания которого перпендикулярны оси $x$.

C2 ^1.00 Определите магнитный момент $\vec{m}$ диска.
Ответ выразите через $\vec{e}_x$, $r_0$, $h$, $\rho$ и $\dot{B}$.

C3 ^0.50 Определите магнитный момент $\vec{m}$ шара.
Ответ выразите через $\vec{e}_x$, $R_0$, $\rho$ и $\dot{B}$.

Теперь рассмотрим движение шара вдоль оси кольца со скоростью $v_x$.

C4 ^0.40 Получите производную по времени индукции магнитного поля кольца в центре шара $dB_x/dt$, эквивалентную величине $\dot{B}$.
Ответ выразите через $v$, $I$, $R$, $x$ и магнитную постоянную $\mu_0$.

C5 ^0.50 Найдите коэффициент пропорциональности $\beta(x)$.
Ответ выразите через $I$, $R$, $x$, $R_0$, $\rho$ и магнитную постоянную $\mu_0$.

Воспользуемся полученным результатом для $\beta(x)$ при определении удельного сопротивления шара по свободным колебаниям, а также по амплитудно-частотной характеристике вынужденных колебаний.
Шар закрепили на одном из концов невесомой непроводящей пружины с коэффициентом жёсткости $k$. Другой конец пружины закреплён в точке с координатой $x_{1(0)}$.
В положении равновесия центр шара расположен на высоте $H\gg{R_0}$ над центром кольца.
Отклонение центра шара $\Delta{x}$ от положения равновесия всегда удовлетворяет условию:
$$\Delta{x}\ll{R,H}{.}
$$

На первом графике представлена зависимость отклонения шара от положения равновесия при собственных колебаниях в некоторых условных единицах. Второй конец пружины при этом неподвижен.
На втором графике представлена зависимость амплитуды вынужденных колебаний $A$ от частоты $\Omega$ в некоторых условных единицах. Координата второго конца пружины начинает изменяется по закону:
$$x_1(t)=x_{1(0)}+A_0\sin\Omega t{.}
$$

C6 ^0.80 Определите удельное сопротивление $\rho$ шара, используемого в первом эксперименте.
Ответ выразите через $m$, $k$, $R_0$, $R$, $H$, $I$ и магнитную постоянную $\mu_0$.

C7 ^0.70 Определите удельное сопротивление $\rho$ шара, используемого во втором эксперименте.
Ответ выразите через $m$, $k$, $R_0$, $R$, $H$, $I$ и магнитную постоянную $\mu_0$.

Часть D. «Вмороженность» магнитного поля (3.4 балла)

Данная часть задачи посвящена изучению магнитного поля, возникающего в результате перемещения очень хороших проводников в них.

Рассмотрим следующую конструкцию: Соосно полубесконечному круговому соленоиду радиусом $R$ с плотностью намотки витков $n$ и силой тока $I$ в них расположен очень длинный хорошо проводящий цилиндр массой $m$ радиусом $r\ll{R}$, концы которого расположены по разные стороны от основания соленоида и удалены от него на расстояния, во много раз превышающие его радиус. В изначальном положении цилиндра токи в нём отсутствуют.
Из—за высокой проводимости вещества силовые линии индукции магнитного поля оказываются в него вморожены. Это означает, что при перемещении вещества силовые линии индукции магнитного поля будут перемещаться вместе с ним. В данном случае, соответствующем твёрдому телу, это приводит к тому, что индукция магнитного поля в каждой точке цилиндра будет сохраняться при его перемещении, что обусловлено возникновением в стержне круговых токов Фуко.

Решайте задачу в следующих приближениях:

Возникающие в цилиндре токи текут только по его поверхности;
Вне цилиндра индукция магнитного поля равна индукции магнитного поля соленоида;
Цилиндр отклоняется от изначального положения на величину $x\ll{R}$;
Взаимодействием цилиндра с подводящими проводами можно пренебречь;
За времена, рассматриваемые в данной задаче, затуханием токов в цилиндре можно пренебречь.

Индукцию магнитного поля соленоида будем характеризовать осью $z$, направленную наружу соленоида вдоль его оси. Начало оси $z$ совпадает с центром основания соленоида.

D1 ^0.60 Определите индукцию $B_z$ магнитного поля соленоида, а также её производную $dB_z/dz$ в точке с координатой $z$. Ответ выразите через $\mu_0$, $n$, $I$, $R$ и $z$.

Пусть цилиндр отклоняют на величину $x\ll{R}$ вдоль оси $z$ от изначального положения.

D2 ^1.00 Определите линейную плотность тока $i$ на поверхности цилиндра в точке с координатой $z$. Ответ выразите через $\mu_0$, $x$ и $dB_z(z)/dz$.

D3 ^1.50 Определите силу $F_x$, действующую на цилиндр со стороны магнитного поля соленоида. Ответ выразите через $\mu_0$, $r$, $R$, $n$, $I$ и $x$.

Пусть в изначальном положении цилиндру сообщили скорость $v_0$, направленную вдоль оси $z$.

D4 ^0.30 Получите зависимость перемещения стержня $x$ от времени $t$. Ответ выразите через $\mu_0$, $r$, $R$, $n$, $I$ и $m$.