| 1 Решение для $x(t)$ ищется в следующем виде: $$x(t)=Ce^{-\gamma t}\sin\left(\sqrt{\omega^2_0-\gamma^2}t+\varphi_0\right){.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Записана система начальных условий: $$ \begin{cases} x(0)=0\\ v_x(0)=v_0 \end{cases} $$ | 0.10 |
|
| 3 Записана выражения для $x(0)$ и $v_x(0)$: $$\begin{cases} x(0)=C\sin\varphi_0\\ v_x(0)=C\left(\sqrt{\omega^2_0-\gamma^2}\cos\varphi_0-\gamma\sin\varphi_0\right) \end{cases} $$ | 0.10 |
|
| 4 Получен правильная зависимость $x(t)$: $$x(t)=\cfrac{v_0}{\sqrt{\omega^2_0-\gamma^2}}e^{-\gamma t}\sin\left(\sqrt{\omega^2_0-\gamma^2}t\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 5 Получен правильная зависимость $v_x(t)$: $$v_x(t)=\cfrac{v_0\omega_0}{\sqrt{\omega^2_0-\gamma^2}}e^{-\gamma t}\cos\left(\sqrt{\omega^2_0-\gamma^2}t+\arcsin\cfrac{\gamma}{\omega_0}\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Для добротности записано: $$Q=\cfrac{2\pi}{1-\left(\cfrac{v_1}{v_0}\right)^2} $$ | 0.10 |
|
| 2 Определено время $T$, за которое величина скорости изменяется от значения $v_0$ до значения $v_1$: $$T=\cfrac{2\pi}{\sqrt{\omega^2_0-\gamma^2}}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Записано выражение для $v_1/v_0$: $$\cfrac{v_1}{v_0}=e^{-\gamma T}{.} $$ | 0.10 |
|
| 4 Получено выражение для добротности $Q$: $$Q=\cfrac{2\pi}{1-e^{-4\pi\gamma/\sqrt{\omega^2_0-\gamma^2}}}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получено приближённое выражение для добротности $Q$: $$Q\approx \cfrac{\omega_0}{2\gamma}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Добротность $Q$ выражена через требуемое величины: $$Q\approx \cfrac{\sqrt{mk}}{\beta}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Записано уравнение движения груза: $$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega^2_0\Delta{x}=\omega^2_0A_0\sin\Omega t{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получена комплексная амплитуда $\hat{A}$: $$\hat{A}=\cfrac{\omega^2_0A_0\left((\omega^2_0-\Omega^2)-2i\Omega\gamma\right)e^{-i\pi/2}}{\left((\omega^2_0-\Omega^2)^2+4\gamma^2\Omega^2\right)}{.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Получено выражение для $A$: $$A=\cfrac{A_0\omega^2_0}{\sqrt{(\omega^2_0-\Omega^2)^2+4\gamma^2\Omega^2}}{.} $$ | 0.10 |
|
| 4 Получено выражение для $\varphi_0$: $$\varphi_0=\begin{cases} -\arctan\cfrac{2\gamma\Omega}{\omega^2_0-\Omega^2}\quad\text{при}\quad \Omega{<}\omega_0\\ -\cfrac{\pi}{2}\quad\text{при}\quad \Omega=\omega_0\\ -\pi-\arctan\cfrac{2\gamma\Omega}{\omega^2_0-\Omega^2}\quad\text{при}\quad \Omega{>}\omega_0 \end{cases} $$ | 0.20 |
|
| 5 Пункт оценивается, если рассмотрен только случай, соответствующий $\Omega{<}\omega_0$. | -0.10 |
|
| 1 Получено выражение для $\Omega_\text{рез}$: $$\Omega_\text{рез}=\sqrt{\omega^2_0-2\gamma^2}{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Получено выражение для $A_\text{рез}$: $$A_\text{рез}=\cfrac{A_0\omega^2_0}{2\gamma\sqrt{\omega^2_0-\gamma^2}}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получено приближённое выражение для $A_\text{рез}$: $$A_\text{рез}\approx{\cfrac{A_0\omega_0}{2\gamma}}{.} $$ | 0.05 |
|
| 2 Получено приближённое выражение для $\Omega_\text{рез}$: $$\Omega_\text{рез}\approx{\omega_0}{.} $$ | 0.05 |
|
| 3 Подкоренное выражение приведено к виду: $$\left(\omega^2_0-\Omega^2\right)^2+4\gamma^2\Omega^2\approx 4\omega^2_0\Delta\Omega^2+4\gamma^2\omega^2_0{.} $$ | 0.10 |
|
| 4 Получено выражение для ширины резонансной кривой $\Delta{\omega}$: $$\Delta{\omega}=2\gamma{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Записан закон Био–Савара–Лапласа: $$d\vec{B}=\cfrac{\mu_0}{4\pi}\cfrac{\left[\vec{r}\times d\vec{r}\right]}{r^3}{,} $$ где $\vec{r}$ – радиус–вектор элемента кольца относительно точки с координатой $x$. | 0.10 |
|
| 2 Получено выражение для $B_x$: $$B_x=\cfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}{.} $$ | 0.20 |
|
| 1 Записан закон электромагнитной индукции Фарадея: $$\int_S\cfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}=-\oint_L\vec{E}\cdot d\vec{l}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Определена величина вихревого электрического поля $E(r)$ в направлении против часовой стрелки: $$E=-\cfrac{r\dot{B}}{2}{.} $$ Пункт оценивается, даже если знак неверный. | 0.30 |
|
| 3 Записан закон Ома в дифференциальной форме: $$\vec{j}=\cfrac{\vec{E}}{\rho}{.} $$ | 0.10 |
|
| 4 Для элементарного магнитного момента записано: $$d\vec{m}=\vec{S}dI{.} $$ | 0.10 |
|
| 5 Для магнитного момента диска, обусловленного течением тока в кольце с внутренним и внешним радиусом $r$ и $r+dr$ соответственно записано: $$dm_x=-\cfrac{\pi\dot{B}h}{2\rho}r^3dr{,} $$ Пункт оценивается, даже если знак неверный. | 0.20 |
|
| 6 Получен правильный ответ (по $0{.}1$ балла за величину и знак, полученный без чётного числа ошибок): $$\vec{m}=-\vec{e}_x\cdot\cfrac{\pi hr^4_0\dot{B}}{8\rho}{.} $$ | 2 × 0.10 |
|
| 1 После перехода к сферическим координатам для магнитного момента шара получено: $$m_x=-\cfrac{\pi{R}^5_0\dot{B}}{8\rho}\int\limits_{0}^{\pi}\sin^5\theta d\theta{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Вычислен интеграл от $\sin^5\theta$: $$\int\limits_{0}^{\pi}\sin^5\theta d\theta=\cfrac{16}{15}{.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Получен правильный ответ: $$\vec{m}=-\vec{e}_x\cdot\cfrac{2\pi{R}^5_0\dot{B}}{15\rho}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Величина $dB_x/dt$ представлена в виде производной сложной функции и получено: $$\cfrac{dB_x}{dt}=v\cfrac{dB_x}{dx}{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Определена производная $dB_x/dx$ и получен правильный ответ (по $0{.}1$ балла за величину и знак, полученный без чётного числа ошибок): $$\dot{B}=-\cfrac{3\mu_0IR^2xv}{2(R^2+x^2)^{\frac{5}{2}}}{.} $$ | 2 × 0.10 |
|
| 1 Для силы, действующей на шар, записано: $$\vec{F}=\vec{e}_x\cdot m_x\cfrac{dB_x}{dx}{.} $$ | 0.30 |
|
| 2 Для магнитного момента шара записано: $$m_x=-\cfrac{2\pi{R}^5_0v}{15\rho}\cdot\cfrac{dB_x}{dx}{,} $$ | 0.10 |
|
| 3 Получена правильная зависимость $\beta(x)$: $$\beta(x)=\cfrac{3\pi\mu^2_0I^2R^4R^5_0x^2}{10\rho(R^2+x^2)^5}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Для отношения амплитуд $A_{i+N}/A_i$, где $N$ – число прошедших колебаний, записано: $$\cfrac{A_{i+N}}{A_{i}}=e^{-2\pi\gamma/\omega}{.} $$ | 0.30 |
|
| 2 Получено отношение $\gamma/\omega_0$: $$\cfrac{\gamma}{\omega_0}\approx 0{.}03{.} $$ | 0.30 |
|
| 3 Получено правильный ответ для $\rho$ (по $0{.}1$ балла за попадание в узкие и широкие ворота): $$\rho=(15{.}7\pm 0{.}5)\cdot\cfrac{\mu^2_0I^2R^5_0R^4H^2}{\sqrt{mk}(R^2+H^2)^5} $$ $$\rho=(15{.}7\pm 0{.}7)\cdot\cfrac{\mu^2_0I^2R^5_0R^4H^2}{\sqrt{mk}(R^2+H^2)^5} $$ | 2 × 0.10 |
|
| 1 M1 Записано соотношение: $$A_\text{рез}=\cfrac{A_0\omega_0}{2\gamma}{.} $$ | 0.40 |
|
| 2 M1 Определено соотношение между $\omega_0$ и $\gamma$: $$\cfrac{\omega_0}{\gamma}=50{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 M1 Получен правильный ответ для $\rho$: $$\rho=23{.}6\cfrac{\mu^2_0I^2R^5_0R^4H^2}{\sqrt{mk}(R^2+H^2)^5} $$ | 0.20 |
|
| 4 M2 Записано выражение для ширины резонансной кривой: $$\Delta{\omega}=2\gamma{.} $$ | 0.10 |
|
| 5 M2 Получено соотношение между $\omega_0$ и $\gamma$ по $0{.}1$ балла за попадание в узкие и широкие ворота):: $$\cfrac{\omega_0}{2\gamma}\approx 27{.}5\pm 2{.}5 $$ $$\cfrac{\omega_0}{2\gamma}=30\pm 5 $$ | 2 × 0.05 |
|
| 6 M2 Получен правильный ответ для $\rho$: $$\rho=(28{.}5\pm 4{.}5)\cfrac{\mu^2_0I^2R^5_0R^4H^2}{\sqrt{mk}(R^2+H^2)^5} $$ | 0.10 |
|
| 1 Использована теорема о телесном угле для магнитного поля: $$B_z=\cfrac{\mu_0i\Omega_\text{бок}}{4\pi}{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Определён телесный угол $\Omega_\text{бок}$: $$\Omega_\text{бок}=2\pi\left(1-\cfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right){.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Получена правильная зависимость $B_z(z)$: $$B_z(z)=\cfrac{\mu_0nI}{2}\left(1-\cfrac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 4 Получена правильная зависимость $dB_z(z)/dz$: $$\cfrac{dB_z(z)}{dz}=-\cfrac{\mu_0nIR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Записаны выражения для индукции магнитного поля внутри и снаружи стержня $$B_{z(in)}=B_z(z-x)\qquad B_{z(out)}=B(z){.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Предложен метод, позволяющий определить линейную плотность тока $i$, например, теорема о циркуляции. | 0.50 |
|
| 3 Записана теорема о циркуляции: $$(B_{z(in)}-B_{z(out)})=\mu_0ix{.} $$ | 0.10 |
|
| 4 Получено выражение для $i$ (по $0{.}1$ балла за величину и знак, полученный без чётного числа ошибок): $$i(z)=-\cfrac{x}{\mu_0}\cfrac{dB_z}{dz}{.} $$ | 2 × 0.10 |
|
| 1 Для магнитного момента элемента цилиндра высотой $dz$ записано: $$dm_z=i(z)\pi r^2dz{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Записано выражение для силы $dF_{z}$, действующей на рассмотренный магнитный момент: $$dF_x=dm_z\cfrac{dB_z}{dz}{.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Получено выражение для $F_x$: $$F_x\approx -\cfrac{\mu_0\pi{r}^2n^2I^2R^4x}{4}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cfrac{dz}{(R^2+z^2)^3}{.} $$ | 0.40 |
|
| 4 Интеграл преобразован следующим образом: $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cfrac{dz}{(R^2+z^2)^3}=\cfrac{1}{R^5}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\varphi d\varphi $$ | 0.20 |
|
| 5 Для интеграла от $\cos^4\varphi$ получено: $$\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\varphi d\varphi=\cfrac{3\pi}{8}{.} $$ | 0.40 |
|
| 6 Получен правильный ответ (по $0{.}1$ балла за величину и знак, полученный без чётного числа ошибок): $$F_x=-\cfrac{3\pi^2\mu_0\pi r^2n^2I^2}{32R}x{.} $$ | 2 × 0.10 |
|
| 1 Определена циклическая частота гармонических колебаний $\omega_0$: $$\omega_0=\sqrt{\cfrac{3\mu_0\pi^2 r^2n^2I^2}{32mR}}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получена зависимость $x(t)$: $$x(t)=\cfrac{v_0\sin\omega_0t}{\omega_0}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Получена правильная зависимость $x(t)$: $$x(t)=v_0\sqrt{\cfrac{32mR}{3\mu_0\pi^2{r}^2n^2I^2}}\sin\sqrt{\cfrac{3\mu_0\pi^2 r^2n^2I^2}{32mR}}t{.} $$ | 0.10 |
|