Pho.rs: Конденсатор с переменным напряжением

A1 ^0.30 Изначально заряд конденсатора равен нулю. Пусть в момент времени $t = 0$ на вход цепи подается постоянное напряжение $V = V_0$. Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени $U(t)$ при $t > 0$.

A1. 1 Записано дифференциальное уравнение для напряжение $ \frac{dU}{dt} = \frac{1}{RC} \left( V_0 -U\right), $	0.10
A1. 2 Зависимость напряжения от времени $ U = V_0 \left( 1 - e^{-t/RC}\right). $	0.20

A2 ^0.20 Найдите зависимость тока через резистор от времени $I(t)$ ($t > 0$).

A2. 1 Связь тока с производной от напряжения	0.10
A2. 2 $ I = \frac{V_0}{R} e^{-t/RC}. $	0.10

A3 ^0.20 Найдите тепло $Q_0$, которое выделится на резисторе за все время процесса.

A3. 1 Записан закон сохранения энергии	0.10
A3. 2 $ Q = \frac{C V_0^2}{2}. $	0.10

A4 ^0.60 Пусть теперь начальное напряжение на конденсаторе при $t = 0$ равно $U_1$, и как и раньше на вход подается постоянное напряжение $V = V_0$. Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени $U(t)$ и тока через резистор $I(t)$.

A4. 1 Использовано дифференциальное уравнение для напряжения	0.10
A4. 2 Использовано правильное решение уравнения в общем виде (экспонента + постоянное слагаемое)	0.20
A4. 3 Правильный коэффициент перед экспонентой $U = V_0 - (V_0 - U_1) e^{-t/RC}$.	0.10
A4. 4 Правильное постоянное слагаемое	0.10
A4. 5 $I = \frac{V_0 - U_1}{R}e^{-t/RC}$	0.10

A5 ^0.70 Найдите количество теплоты $Q_1$, которое выделится за все время процесса из пункта \textbf{A4}. Постройте (качественно) график зависимости $Q_1$ от $U_1$.

A5. 1 Закон сохранения энергии	0.10
A5. 2 $ Q= \frac{C (V_0 - U_1)^2}{2}. $	0.20
A5. 3 График: парабола	0.10
A5. 4 График: ветви направлены вверх	0.20
A5. 5 График: касание горизонтальной оси при $U_1 = V_0$	0.10

B1 ^0.30 Пусть прошло достаточно большое время. Найдите выражение для тока через резистор $I(t)$.

B1. 1 Напряжение на конденсаторе $\alpha t$	0.10
B1. 2 $ I = C \alpha. $	0.20

B2 ^0.20 Найдите количество теплоты $Q$, которое выделится на резисторе за достаточно большое время $t$.

B2. 2 $
Q = C^2 \alpha^2 Rt.
$

0.20

B3 ^0.10 Найдите ток через резистор $I$. Выразите его через мгновенное значение напряжения на конденсаторе $U$, входное напряжение $V$ и параметры схемы.

B3. 1 $
I = \frac{V - U}{R}.
$

0.10

B4 ^0.10 Выразите скорость изменения напряжения на конденсаторе $dU/dt$ через ток через резистор $I$ и параметры схемы.

B4. 1 $
\frac{dU}{dt} = \frac{1}{C} I.
$

0.10

B5 ^0.40 Продифференцировав уравнение из \textbf{B3}, получите дифференциальное уравнение на ток через резистор, то есть выразите $dI/dt$ через $I$, параметры схемы и постоянную $\alpha$.

B5. 1 Правильное выражение для производной тока через производные напряжений в любом виде	0.20
B5. 2 $ \frac{dI}{dt} = \frac{1}{R} \left( \alpha - \frac{I}{C}\right) $	0.20

B6 ^0.10 Чему равен ток через резистор в начальный момент времени $I(0)$?

B6. 1 $I = 0 $

0.10

B7 ^0.50 Используя аналогию с зарядкой конденсатора, найдите зависимость тока через резистор от времени $I(t)$.

B7. 1 Правильный общий вид решения (экспонента + константа)	0.20
B7. 2 Правильный коэффициент перед экспонентой $ I = C \alpha \left( 1 - e^{-t/RC}\right) $	0.20
B7. 3 Правильное постоянное слагаемое	0.10

B8 ^0.70 Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени $U(t)$. Постройте (качественно) график зависимости напряжения от времени.

B8. 1 Заряд (или напряжение) выражен через интеграл от тока	0.20
B8. 2 Ответ для напряжения $ U = \alpha t - \alpha RC \left(1 - e^{-t/RC} \right). $	0.20
B8. 3 График: линейный рост на больших временах	0.20
B8. 4 График касается горизонтальной оси при $t = 0$	0.10

B9 ^0.50 Найдите количество тепла $Q(t)$, которое выделится на резисторе за время $t$.

B9. 1 Выражение для мгновенной мощности $P = I^2 R$	0.10
B9. 2 Тепло выражено как интеграл от квадрата тока	0.20
B9. 3 $ Q = C^2 \alpha^2 R \left(t - 2 RC\left (1- e^{-t/RC}\right) + \frac{RC}{2} \left(1 - e^{-2t/RC} \right)\right) $	0.20

B10 ^0.30 Найдите зависимость напряжения на конденсаторе от времени при $t > T$.

B10. 1 Правильная общая структура решения (константа + экспонента)	0.10
B10. 2 $ U = V_0 - \alpha RC \left(1 - e^{-T/RC} \right) e^{- \frac{t-T}{RC}}. $	0.20

B11 ^0.30 Найдите количество тепла $Q_2$, которое выделилось на резисторе при $t > T$.

B11. 1 Использование формул из части A или интеграл	0.10
B11. 2 Ответ $ Q_2 =\frac{1}{2}\alpha^2 R^2 C^3 \left(1 - e^{-T/RC} \right)^2. $	0.20

B12 ^0.40 Найдите количество теплоты $Q_T$, которое выделилось на резисторе за все время зарядки конденсатора.

B12. 1 Связь $\alpha = V_0/T$	0.10
B12. 2 Правильная структура ответа: постоянные слагаемые + экспонента	0.20
B12. 3 $ Q_T = \frac{RC}{T} CV_0^2 - CV_0^2 \frac{R^2 C^2}{T^2} \left(1 - e^{-T/RC} \right). $	0.10

B13 ^0.60 Найдите отношение $k = Q_T/Q_0$. Здесь $Q_0$ — тепло, которое выделяется на резисторе, когда на вход схемы мгновенно подается напряжение $V_0$ (см. пункт \textbf{A3}), $Q_T$ определено в предыдущем пункте.
Запишите приближенное выражение для $k$ при $T \gg RC$.

B13. 1 Использовано $Q_0 = CV_0^2/2$	0.10
B13. 2 $ k = \frac{2RC}{T} - \frac{2 R^2 C^2} {T^2} \left(1 - e^{-T/RC} \right). $	0.30
B13. 3 $ k \approx 2RC/T $	0.20

С1 ^0.20 Пусть прошло достаточно большое время и колебания установились. Как при этом должны быть связаны $U_1$ и $U_2$?

С1. 1 $U_2 = - U_1$

0.20

С2 ^0.20 Чему равен ток через резистор $I_1$, когда напряжение на входе равно $V_0$?

С2. 1 $
I_1 = \frac{V_0 - U_1}{R}.
$

0.20

С3 ^0.40 По аналогии с пунктом \textbf{B4} напишите уравнение, которому удовлетворяет ток через резистор на участке, где входное напряжение линейно затухает.

С3. 1 Зависимость входного напряжения от времени $ V = V_0 - \frac{4 V_0}{T} t. $	0.20
С3. 2 $ \frac{dI}{dt} = \frac{1}{R} \left(- \frac{4 V_0}{T} - \frac{I}{C} \right) $	0.20

C4 ^0.50 С учетом предыдущих двух пунктов найдите зависимость тока от времени на участке, где входное напряжение линейно затухает. Для простоты записи считайте, что этот участок начинается в момент времени $t = 0$.

C4. 1 Правильная структура ответа (экспонента + постоянное слагаемое)	0.20
C4. 2 Правильный коэффициент перед экспонентой $ I = - \frac{4 CV_0 }{T} + \left( \frac{V_0- U_1}{R} + \frac{4 CV_0 }{T} \right) e^{- t/RC} $	0.20
C4. 3 Правильное постоянное слагаемое	0.10

C5 ^0.60 Используя найденное выражение для тока, выразите напряжение на конденсаторе в конце линейного участка $U_2$ через напряжение в начале $U_1$ и параметры задачи.

C5. 1 Изменение заряда (или напряжение) выражено как интеграл от тока	0.20
C5. 2 Ответ: правильный коэффициент перед экспонентой $ U_2 = - V_0+ \frac{4RC}{T} V_0 - \left(V_0 - U_1 + \frac{4 RC}{T} \right) e^{-T/2RC}. $	0.20
C5. 3 Ответ: правильное постоянное слагаемое	0.20

С6 ^1.00 Найдите максимальное напряжение на конденсаторе $U_1$ в установившемся режиме. Напишите приближенные выражения для $U_1$ при $T \ll RC$ и $T \gg RC$.

С6. 1 Выражение для $U_2$ подставлено в уравнение $U_2 = - U_1$	0.20
С6. 2 Ответ содержит знаменатель $1 + e^{-T/2RC}$	0.30
С6. 3 $ U_1 = V_0 \left(1 - \frac{4RC}{T} \tanh \frac{T}{4RC} \right), \quad \tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} . $	0.30
С6. 4 $U_1 \approx const$ при больших временах	0.10
С6. 5 $U_1 \approx 0$ при малых временах	0.10

C7 ^0.60 Постройте график зависимости отношения $U_1/V_0$ от безразмерной переменной $T/RC$.

C7. 1 График выходит на константу при больших $T$	0.20
C7. 2 График уходит в 0 при малых $T$	0.20
C7. 3 График касается горизонтальной оси при $T = 0$	0.20

Конденсатор с переменным напряжением

Разбалловка