Мгновенное значение тока через конденсатор
$$
I = \frac{V_0 - U}{R}.
$$
Ток равен производной заряда конденсатора $I = \cfrac{dq}{dt}$, а заряд можно выразить через напряжение. $q = CU$, откуда $I = C\cfrac{dU}{dt}$, поэтому уравнение на напряжение
$$
\frac{dU}{dt} = \frac{1}{RC} \left( V_0 -U\right),
$$
а его решение

$I = C\cfrac{dU}{dt}$

Через цепь за все время проходит заряд $q= CV_0$, над которым совершается работа $A=V_0 q = CV_0^2$. Конечная энергия конденсатора $W = CV_0^2/2$, а тепло
$Q = A - W$

Уравнение на напряжение такое же, как и в первом пункте, а его решение, с учетом начальных условий

Через цепь за время зарядки протекает заряд $q = C (V_0 - U_1)$, изменение энергии конденсатора $\Delta W = \cfrac{C V_0^2}{2}-\cfrac{C U_1^2}{2}$, работа источника $A = V_0 q$, поэтому выделившееся тепло
$$
Q = A - \Delta W = C V_0^2 - C V_0 U_1 - \cfrac{C V_0^2}{2} + \cfrac{C U_1^2}{2} = \frac{C (V_0 - U_1)^2}{2}
$$

Заряд конденсатора через большое время $q = CU \approx C V = C \alpha t$, а ток $I = dq/dt$

Мощность после установления процесса $P = I^2 R \approx C^2 \alpha^2 R$

Из уравнения видно, что ток возрастает, как напряжение на конденсаторе при его зарядке, причем максимальное значение тока $C \alpha$, а характерное время изменения тока $\tau = RC$, как и при зарядке конденсатора.

Заряд на конденсаторе можно найти, интегрируя ток (при этом начальный заряд равен нулю):
$$
q = \int_0^t I(t) dt = C \alpha \left( t- RC \left( 1 - e^{-t/RC}\right)\right)=
C \alpha \left(t - RC + RCe^{-t/RC} \right),
$$
а напряжение $U = q/C$

Ответ:

На резисторе выделяется мощность $P = I^2(t) R$, интегрируя ее, найдем выделившееся тепло
$$
Q = \int_0 ^t I^2(t) R dt = C^2 \alpha^2 R \int_0 ^t \left(1 - e^{-t/RC} \right)^2 dt
$$

Эта задача аналогична задаче из пункта A4. Тут в качестве начального напряжения нужно использовать напряжение в момент времени $T$. Также нужно использовать соотношение $V_0 = \alpha T$.
Тогда $V_0 - U_1 = \alpha RC \left(1 - e^{-T/RC} \right)$.

Это количество тепла можно вычислить с помощью результата из A5.
$$
Q_2 = \frac{C (V_0 - U_1)^2}{2}= \frac{1}{2}\alpha^2 R^2 C^3 \left(1 - e^{-T/RC} \right)^2.
$$

Складываем ответы из B9 и B11, приводим подобные слагаемые, заменяем $\alpha = V_0/T$.

$Q_0 = CV_0^2/2$, с учетом этого
$$
k = \frac{2RC}{T} - \frac{2 R^2 C^2} {T^2} \left(1 - e^{-T/RC} \right).
$$
На больших временах второе слагаемое много меньше первого,
$$
k \approx \frac{2RC}{T}.
$$
Заметим также, что при маленьких временах
$$
e^{-T/RC} \approx 1 - \frac{T}{RC} + \frac{T^2}{2 R^2 C^2} -\frac{T^3}{6 R^3 C^3},
$$
поэтому
$$
k \approx 1 - \frac{T}{3RC}.
$$

В установившемся режиме противоположным значениям внешнего напряжения отвечают противоположные значения напряжения на конденсаторе.

Входное напряжение на рассматриваемом участке
$$
V = V_0 - \frac{4 V_0}{T} t.
$$
В уравнение для тока входит только $dV/dt$, поэтому постоянное слагаемое на него не влияет. Тогда уравнение совпадает с уравнением из пункта B5 с $\alpha = - 4V_0/T$.

Через большое время ток будет равен $I_2 = - 4 C V_0/T$, а общее решение уравнения имеет вид
$$
I = I_2 + (I_1 - I_2 )e ^{-t/RC}
$$

Изменение заряда на конденсаторе за время уменьшения напряжения
$$
\Delta q = \int_0 ^{T/2} I(t) dt = - 2 C V_0 + RC \left( \frac{V_0- U_1}{R} + \frac{4 CV_0 }{T} \right) \left(1 - e ^{-T/2RC} \right),
$$
тогда изменение напряжения
$$
\Delta U = \frac{\Delta q}{C} = U_2 - U_1= -V_0 - U_1 + \frac{4RC}{T} V_0 - \left(V_0 - U_1 + \frac{4 RC}{T} \right) e^{-T/2RC}.
$$

Решая уравнение $U_2 = - U_1$ относительно $U_1$ найдем (для удобства записи мы используем так называемую гиперболическую функцию $\tanh x$, при желании ответ можно записать и просто через экспоненты.)

При больших значениях аргумента $\tanh x \approx 1$ и $U_1 \approx V_0 \left(1 - 4RC/T \right) \approx V_0$, при малых значениях аргумента $\tanh x \approx x - x^3/3$,
$U_1 \approx \cfrac{T^2}{48 R^2 C^2}V_0$.

Если ответ для поведения функции не получается получить аналитически, это можно сделать и численно, вычисляя значения для малых значений времени $T/RC$. Так можно убедиться, что при малых временах $U_1 \sim T^2$.

Заметим, что значение $U_1$ на самом деле не является максимальным значением напряжения на конденсаторе, поскольку конденсатор продолжает заряжаться еще некоторое время после того, как входное напряжение начало убывать. Максимальное значение напряжения достигается, когда ток через конденсатор обращается в 0, после чего знак тока меняется и конденсатор начинает разряжаться. Это время $t_1$ можно найти из условия
$$
I(t_1) = 0 = - \frac{4 CV_0 }{T} + \left( I_1 + \frac{4 CV_0 }{T} \right) e^{- t_1/RC},
$$
поэтому
$$
e^{-t_1/RC} = \frac{4 CV_0/T}{I_1 + 4 CV_0/T}, \quad I_1 = \frac{V_0 - U_1}{R} = \frac{4 C V_0}{T} \tanh \frac{T}{4 RC}.
$$
За время $t_1$ в конденсатор затечет дополнительный заряд
$$
\Delta q_1 = \int _0 ^{t_1} I(t) dt= - 4 C V_0 \frac{t_1}{T} + + RC \left( I_1 + \frac{4 CV_0 }{T} \right) \left(1 - e ^{-t_1/RC} \right).
$$
Подставляя во второе сложение выражение для экспоненты и напряжения $U_1$ получим
$$
\Delta q_1 = - 4 C V_0 \frac{t_1}{T} + RCI_1.
$$
Тогда максимальное напряжение
$$
U_{\text{max}} = U_1 + \frac{\Delta q_1}{C} = V_0 - 4 V_0 \frac{t_1}{T} = V_0 \left(1 - \frac{4RC}{T} \ln\left(1 + \tanh \frac{T}{4 RC} \right) \right).
$$
Это напряжение больше $U_1$, при малых значениях времени оно зависит от времени линейно.