Введение

Терморезисторы — это резисторы, способные заметно менять своё сопротивление с температурой. Поскольку таким свойством обладают практически все резистивные материалы, терморезисторами обычно называют элементы, которые испытывают значительное или нетипичное изменение сопротивления в конкретном узком диапазоне температур. Два основных типа терморезисторов — это:

• Терморезисторы с положительным температурным коэффициентом сопротивления (ТКС) — т.н. позисторы. Они обычно используются в электрических цепях в качестве предохранителей, т.е. ограничивают полный ток. К примеру, как позистор ведёт себя обычная лампа накаливания.
• Терморезисторы с отрицательным ТКС — т.н. NTC-термисторы. Они также используются как ограничители, но уже пусковых токов, т.е. там, где большие токи на старте могут привести с перегоранию элементов цепи. Такое может происходить в мощных системах освещения или при зарядке мощных конденсаторов, что мы и рассмотрим в первой части задачи.

Часть A. Зарядка конденсатора (4.2 балла)

Для корректной работы большинства блоков питания необходим механизм, позволяющий регулярно заряжать конденсатор большой ёмкости без вреда для контактов и дорожек платы, поскольку в начальный момент времени ток через практически разряженный конденсатор настолько высок, что способен их расплавить. Для этого обычно применяют NTC-термисторы: в начале они имеют комнатную температуру и довольно большое сопротивление, тем самым ограничивая ток. При этом за характерное время зарядки конденсатора термистор нагревается, и поэтому к моменту, когда необходимость ограничения тока отпадает, его сопротивление падает в несколько раз, обеспечивая быструю дозарядку.

A1  ^0.20 Запишите уравнение на временнýю производную $\dot\tau$ температуры термистора. Выразите ваш ответ через напряжение $U_R$ на термисторе, ёмкость конденсатора $C$ и введённые выше коэффициенты $c$ и $\kappa$. Перепишите это же уравнение в терминах $U_R$, $c$, $\kappa$ и сопротивления термистора $R(\tau)$.

A2  ^0.60 Пусть $c=a_1U^2$, а $\kappa=a_2U^2$. По асимптотикам кривой $\tau(t)$ при малых и больших $t$ найдите значения коэффициентов $a_1$ и $a_2$.

A3  ^0.60 Выразите через $\kappa$ и $\tau$ количество теплоты, которое выделится на термисторе за всё время, и свяжите его с изменением энергии конденсатора $W_C$. Найдите отсюда ёмкость конденсатора $C$ и её численное значение.

A4  ^0.20 Запишите выражение для мощности $P$, выделяющейся на термисторе. Выразите ответ через $U$, $R_0$, $\tau$ и введённые в A2 численные коэффициенты.

A5  ^0.20 Найдите отсюда выражение для напряжения $U_R$ на резисторе. Выразите ответ через $U$, $\tau$ и введённые в A2 численные коэффициенты.

A6  ^0.20 Получите выражение для сопротивления термистора $R$. Выразите ответ через $R_0$, $\tau$ и введённые в A2 численные коэффициенты.

A7  ^2.00 Как можно точнее найдите по графику зависимость $R(\tau)$.

A8  ^0.20 Найдите $c$ и $\kappa$, если полное приложенное напряжение равно $U=220~В$.

Часть B. Коэффициенты Стейнхарта—Харта (2.0 балла)

Поскольку в NTC-термисторах реализуется полупроводниковый механизм проводимости, зависимость сопротивления NTC-термистора $R$ от абсолютной температуры $T$ можно описать неявно с помощью уравнения Стейнхарта—Харта:\[\frac1T=A+B\ln R+C\left[\ln R\right]^3\quad(СИ),\]где $A$, $B$ и $C$ – т.н. коэффициенты Стейнхарта—Харта. Эти коэффициенты зависят от материала термистора. Определение этих коэффициентов для используемого термистора и является целью данной части задачи.

B1  ^0.60 Рассматривая значения $\cfrac1{T_0+\tau_i}$ как экспериментальные точки, а правую часть уравнения Стейнхарта—Харта как уравнение модельной кривой, запишите систему уравнений, позволяющую найти коэффициенты $A$, $B$ и $C$.

B2  ^1.40 Решите эту систему численно и получите коэффициенты Стейнхарта—Харта.

Часть C. ВАХ NTC-термистора (3.8 балла)

В части A мы рассмотрели, для чего могут применяться термисторы с отрицательным ТКС, а в части B нашли коэффициенты уравнения Стейнхарта—Харта. В этой части мы попробуем, основываясь на этих данных, исследовать работу термистора в стационарном режиме и построить его вольт-амперную характеристику.

C0 Внимание! Если вы не решали части A и B или не хотите использовать полученные значения коэффициентов уравнения Стейнхарта—Харта и контактную теплопроводность терморезистора, можете воспользоваться следующими значениями:\[A=7.3\cdot10^{-4}\qquad B=1.30\cdot10^{-4}\qquad C=5.7\cdot10^{-6}\qquad\kappa=0.37~\cfrac{Вт}К\]В случае выбора приведённых значений явно напишите об этом в листе ответов для этого пункта. В этом случае ваш максимальный балл за пункты C2 и C4 будет на 10% меньше.

C1  ^0.20 Запишите уравнение для нахождения стационарного значения сопротивления NTC-термистора, к которому приложено постоянное напряжение $U$.

C2  ^1.50 Решая это уравнение, получите как можно точнее зависимость $R(U)$. Постройте на основе полученных точек ВАХ терморезистора при небольших токах и напряжениях.

C3  ^0.30 Найдите, при каком критическом напряжении $U_\mathrm{cr}$ и токе $I_\mathrm{cr}$ режим работы терморезистора меняется.

Как вы уже могли догадаться, за этой предельной точкой лежит неустойчивый участок ВАХ, который продолжается до точки плавления терморезистора, которая равняется $T_\mathrm{max}=1380~^\circ\mathrm C$.

C4  ^1.50 Как можно точнее найдите зависимость $R(U)$ на участке ВАХ от найденной в предыдущем пункте критической точки до точки плавления терморезистора и постройте её на графике.

C5  ^0.30 Найдите координаты $\left(U_\mathrm m,I_\mathrm m\right)$ точки плавления терморезистора на ВАХ.

Приложение