A1  ^0.20 Запишите уравнение на временнýю производную $\dot\tau$ температуры термистора. Выразите ваш ответ через напряжение $U_R$ на термисторе, ёмкость конденсатора $C$ и введённые выше коэффициенты $c$ и $\kappa$. Перепишите это же уравнение в терминах $U_R$, $c$, $\kappa$ и сопротивления термистора $R(\tau)$.

Мощность, выделяемая на резисторе, можно записать как:\[P=\fbox{$\frac{U_R^2}R$}=U_RI=U_R\dot Q_C=\frac1CU_R\dot U_C=\frac1CU_R\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left[U-U_R\right]=-\frac1CU_R\dot U_R=\fbox{$-\frac1{2C}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left[U_R^2\right]$}.\]При этом мощность, рассеиваемая резистором в окружающее пространство, равна $\kappa\tau$, откуда:

A2  ^0.60 Пусть $c=a_1U^2$, а $\kappa=a_2U^2$. По асимптотикам кривой $\tau(t)$ при малых и больших $t$ найдите значения коэффициентов $a_1$ и $a_2$.

Введём обозначения $c=a_1U^2$ и $\kappa=a_2 U^2$. Для поиска $a_1$ проведём касательную к графику $\tau(t)$ в точке $t=0$. Её угловой коэффициент будет равен $\fbox{$\frac{U^2}{cR_0}=\frac1{a_1R_0}$}$. Для поиска $a_2$ снимем несколько точек с "хвоста" графика и перестроим их в координатах $\ln\tau(t)$. Угловой коэффициент полученной прямой будет равен $\fbox{$-\frac\kappa c=-\frac{a_2}{a_1}$}$. Окончательный ответ:

A3  ^0.60 Выразите через $\kappa$ и $\tau$ количество теплоты, которое выделится на термисторе за всё время, и свяжите его с изменением энергии конденсатора $W_C$. Найдите отсюда ёмкость конденсатора $C$ и её численное значение.

Тепло, которое рассеется на термисторе, равно интегралу мощности теплообмена от $t=0$ до $t=+\infty$:\[Q_R=\fbox{$\kappa\int_0^{+\infty}\tau(\xi)~\mathrm d\xi$}.\]Работа источника за это время $A=QU=CU^2$, а изменение энергии конденсатора $W_C=\frac C2U^2$ $\implies$ на термисторе выделится $Q_R=A-W_C=\fbox{$\frac C2U^2$}$ $\implies$

Подставляя выражение для $\kappa$ из A2, имеем:

A4  ^0.20 Запишите выражение для мощности $P$, выделяющейся на термисторе. Выразите ответ через $U$, $R_0$, $\tau$ и введённые в A2 численные коэффициенты.

Из пунктов A1 и A2 получаем:\[P=\frac{U_R^2}R=c\dot\tau+\kappa\tau=\fbox{$\left[a_1\dot\tau+a_2\tau\right]U^2$}.\]

A5  ^0.20 Найдите отсюда выражение для напряжения $U_R$ на резисторе. Выразите ответ через $U$, $\tau$ и введённые в A2 численные коэффициенты.

Вспомним, что мощность на термисторе равна $P=\frac C2\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left[U_R^2\right]$, откуда в результате интегрирования получаем:\[\int_0^tP(\xi)~\mathrm d\xi=\frac C2\left[U^2-U_R^2(t)\right]=c\tau(t)+\kappa\int_0^{+\infty}\tau(\xi)~\mathrm d\xi\implies U_R=\sqrt{U^2-\frac2C\left[c\tau+\kappa\int_0^t\tau(\xi)~\mathrm d\xi\right]}.\]Подставляя выражение для $\kappa$ из A2, имеем:

A6  ^0.20 Получите выражение для сопротивления термистора $R$. Выразите ответ через $R_0$, $\tau$ и введённые в A2 численные коэффициенты.

Подставляя результаты A4 и A5 в выражение $P=\frac{U_R^2}R$, имеем:

A7  ^2.00 Как можно точнее найдите по графику зависимость $R(\tau)$.

Оригинальный график в максимальном разрешении можно найти в материалах к задаче.

A8  ^0.20 Найдите $c$ и $\kappa$, если полное приложенное напряжение равно $U=220~В$.

Подставляем в выражения из A2:

B1  ^0.60 Рассматривая значения $\cfrac1{T_0+\tau_i}$ как экспериментальные точки, а правую часть уравнения Стейнхарта—Харта как уравнение модельной кривой, запишите систему уравнений, позволяющую найти коэффициенты $A$, $B$ и $C$.

По МНК нам нужно минимизировать следующую сумму:\[\mathcal S=\sum_i\left[A+B\ln R+C\ln^3R-\frac1{T_0+\tau}\right]^2.\]Для этого необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases}\frac{\partial\mathcal S}{\partial A}=0\\\frac{\partial\mathcal S}{\partial B}=0\\\frac{\partial\mathcal S}{\partial C}=0\end{cases}$
Беря производные и переписывая уравнения через средние по выборке, получим:\[\]

B2  ^1.40 Решите эту систему численно и получите коэффициенты Стейнхарта—Харта.

Выбор желаемого алгоритма решения оставим за читателем.

C0  ^?? Внимание! Если вы не решали части A и B или не хотите использовать полученные значения коэффициентов уравнения Стейнхарта—Харта и контактную теплопроводность терморезистора, можете воспользоваться следующими значениями:\[A=7.3\cdot10^{-4}\qquad B=1.30\cdot10^{-4}\qquad C=5.7\cdot10^{-6}\qquad\kappa=0.37~\cfrac{Вт}К\]В случае выбора приведённых значений явно напишите об этом в листе ответов для этого пункта. В этом случае ваш максимальный балл за пункты C2 и C4 будет на 10% меньше.

C1  ^0.20 Запишите уравнение для нахождения стационарного значения сопротивления NTC-термистора, к которому приложено постоянное напряжение $U$.

В стационарном режиме $\dot\tau=0$, поэтому:\[\frac{U^2}R=\kappa\tau=\kappa(T-T_0).\]Исключая отсюда $T$ с помощью уравнения Стейнхарта—Харта, имеем:

C2  ^1.50 Решая это уравнение, получите как можно точнее зависимость $R(U)$. Постройте на основе полученных точек ВАХ терморезистора при небольших токах и напряжениях.

С помощью итеративных уравнений:

Нужно преобразовать уравнение к форме с $R$ в левой части так, чтобы обеспечить сходимость.

Параметризацией по $R$:

Куда проще можно поступить, если заметить, найти зависимость $U(R)$ очень легко. Вычислив пары точек, мы получим зависимость $R(U)$.

Оригинальные графики в максимальном разрешении можно найти в материалах к задаче.

C3  ^0.30 Найдите, при каком критическом напряжении $U_\mathrm{cr}$ и токе $I_\mathrm{cr}$ режим работы терморезистора меняется.

С помощью итеративных уравнений:

При увеличении напряжения можно заметить, что сходимость при решении итеративным методом происходит всё медленнее и медленнее, пока по достижении некоторого напряжения сопротивление не "улетает" скачком в область очень малых значений (которые, как несложно проверить, соответствуют температурам порядка $\sim10^6~К$). Это – пробой термистора. Напряжение и ток, при котором он происходит:

Параметризацией по $R$:

При уменьшении $R$ при некотором значении $R_\mathrm {cr}=11.241~(256.5)~Ом$ ВАХ “разворачивается”, что, как известно, соответствует неустойчивому участку, а потому – пробою термистора. Отсюда сразу находим напряжение и ток, при котором он происходит:

C4  ^1.50 Как можно точнее найдите зависимость $R(U)$ на участке ВАХ от найденной в предыдущем пункте критической точки до точки плавления терморезистора и постройте её на графике.

С помощью итеративных уравнений:

Нужно преобразовать уравнение к форме с $R$ в левой части так, чтобы обеспечить сходимость. Температуру, которой соответствует конкретная точка на ВАХ, можно найти из уравнения Стейнхарта—Харта. При $T=T_{\max}$ ВАХ обрывается.

Параметризацией по $R$:

Сопротивление термистора $R_\min$ находим из уравнения Стейнхарта—Харта. Строим ВАХ от этого значения до найденного в предыдущем пункте. 

Оригинальные графики в максимальном разрешении можно найти в материалах к задаче.

C5  ^0.30 Найдите координаты $\left(U_\mathrm m,I_\mathrm m\right)$ точки плавления терморезистора на ВАХ.

С помощью итеративных уравнений:

Температуру, которой соответствует конкретная точка на ВАХ, можно найти из уравнения Стейнхарта—Харта.

Параметризацией по $\tau$:

Ответ получается непосредственной подстановкой в уравнение.