Logo
Logo

Ракетный двигатель

Разбалловка

A1  0.50 Запишите уравнение движения цилиндра. Определите градиент давления $dp/dx$. Ответ выразите через $\rho$, $v$ и $dv/dx$.

A1. 1 Правильно записано уравнение движения цилиндра (или ЗСИ в фикс. объеме). 0.30
A1. 2 ЗСИ приведён к виду:
$$\cfrac{dp}{dx}=-\rho v\cfrac{dv}{dx}{.}
$$
0.20
A2  0.50 Определите величину скорости звука $c$ в газе. Ответ выразите через $p$, $\rho$ и показатель адиабаты $\gamma$.

A2. 1 Вывод формулы для $c$:
$$c=\sqrt{\left(\cfrac{\partial p}{\partial \rho}\right)_S}{.}
$$
0.30
A2. 2 Ответ:
$$c=\sqrt{\cfrac{\gamma p}{\rho}}{.}
$$
0.20
B1  1.00 Обозначим площадь поперечного сечения сопла за $A$. Определите величину $dA/dx$. Ответ выразите через $A$, $v$, $c$ и $dv/dx$.

B1. 1 Записано уравнение неразрывности:
$$\rho vA=const\to{\cfrac{d\rho}{\rho}+\cfrac{dv}{v}=-\cfrac{dA}{A}}{.}
$$
0.30
B1. 2 Уравнение адиабаты:
$$p\rho^{-\gamma}=const{.}
$$
0.20
B1. 3 Получено уравнение:
$$\cfrac{\gamma p}{\rho}\cfrac{d\rho}{dx}\cfrac{1}{\rho}=-v\cfrac{dv}{dx}\quad\text{или}\quad \cfrac{d\rho}{\rho}=-v\cfrac{dv}{c^2}{.}
$$
0.30
B1. 4 Ответ:
$$\cfrac{dA}{dx}=-A\cfrac{dv}{dx}\cfrac{1}{v}\left(1-\cfrac{v^2}{c^2}\right){.}
$$
0.20
B2  0.50 Качественно постройте профиль сечения сопла $A(x)$, когда скорость газа на выходе $v{<}c$. Можно считать, что при входе в сопло скорость газа пренебрежимо мала. Укажите особые точки (если они есть).

B2. 1 На графике отражено, что $A$ монотонно падает с $x$. 0.30
B2. 2 Указано, что особых точек нет. 0.20
B2. 3 None
B3  0.50 Качественно постройте профиль сечения сопла $A(x)$, когда скорость газа на выходе $v{>}c$. Можно считать, что при входе в сопло скорость газа пренебрежимо мала. Укажите особые точки (если они есть).

B3. 1 На графике есть точка минимума. 0.30
B3. 2 Особая точка при $v=c$. 0.20
B3. 3 None
C1  2.00 Изготавливая ракетный двигатель, задается желаемое давление на выходе из сопла $p$. Найдите скорость истечения газа $v$ из сопла в зависимости от отношения $p/p_c$. Ответ выразите через $p_c$, $\rho_c$, $\gamma$ и отношение $p/p_c$.

C1. 1 Получено уравнение Бернулли:
$$\cfrac{v^2}{2}+\cfrac{\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p}{\rho}=const{.}
$$
1.00
C1. 2 Использовано уравнение адиабаты
$$p\rho^{-\gamma}=const\quad\text{или}\quad T\rho^{1-\gamma}=const{.}
$$
0.20
C1. 3 Выражение плотности через данные задачи:
$$\rho=\rho_c\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{1/\gamma}{.}
$$
0.20
C1. 4 Выражение для температуры через данные задачи:
$$T=T_c\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}{.}
$$
0.20
C1. 5 Выражение для скорости:
$$v=\sqrt{\cfrac{2\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p_c}{\rho_c}\left(1-\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right)}{.}
$$
0.40
C2  0.40 При каком значении $p'$ скорость истечения из сопла достигает максимального значения? Чему равна эта максимальная скорость $v_\text{max}$? Ответы выразите через $p_c$, $\rho_c$ и $\gamma$.

C2. 1 Получен ответ:
$$p'=0{.}
$$
0.20
C2. 2 Получен ответ:
$$v=\sqrt{\cfrac{2\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p_c}{\rho_c}}{.}
$$
0.20
C3  1.10 Как зависит площадь выходного сечения сопла $A$ от желаемого давления на выходе из сопла $p$ (при фиксированных параметрах на входе в сопло)? Т.е. найдите функцию $A(p/p_c)$, считая, что массовый расход в каждом сечении сопла постоянен и равен $\lambda$. Ответ выразите через $\lambda$, $p_c$, $\rho_c$, $\gamma$ и отношение $p/p_c$.

C3. 1 Уравнение неразрывности:
$$\rho vA=const=\lambda{.}
$$
0.20
C3. 2 Использовано уравнение адиабаты:
$$p\rho^{-\gamma}=const{.}
$$
0.20
C3. 3 Использовано выражение для скорости:
$$v=\sqrt{\cfrac{2\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p_c}{\rho_c}\left(1-\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right)}{.}
$$
0.20
C3. 4 Ответ:
$$A=\cfrac{\lambda}{\rho_c\sqrt{\cfrac{2\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p_c}{\rho_c}}\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{1/\gamma}\left(1-\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right)^{1/2}}{.}
$$
0.50
C4  1.50 Найдите отношение давлений $p_t/p_c$ в особых точках для пунктов B2 и B3. Ответ выразите через показатель адиабаты газа $\gamma$. Такие давления называют критическими.

C4. 1 Использовано уравнение Бернулли при $v=c$ и получено:
$$\cfrac{p_t}{\rho_t}\cfrac{\gamma+1}{2}=\cfrac{p_c}{\rho_c}{.}
$$
0.70
C4. 2 Использовано выражение для плотности:
$$\rho=\rho_c\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{1/\gamma}{.}
$$
0.30
C4. 3 Ответ:
$$\cfrac{p_t}{p_c}=\left(\cfrac{2}{\gamma+1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}{.}
$$
0.50
C5  0.70 Для формы сопла, определенной в пункте B3, определите зависимость величины $v/c$ от величины $p/p_c$. Ответ выразите через $\gamma$ и $p/p_c$.
Постройте качественные графики зависимости скорости течения газа $v/c$ вдоль сопла для случаев, когда давление на выходе больше критического ( $p/p_c>p_t/p_c$) и когда давление на выходе меньше критического ($p/p_c{<}p_t/p_c$).

C5. 1 Получено выражение для $v/v_c$
$$\cfrac{v}{c}=\sqrt{\cfrac{2}{\gamma-1}\left(\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(1-\gamma)/\gamma}-1\right)}{.}
$$
0.30
C5. 2 $(p>p_t)$: На графике отображено, что величина $v/c$ монотонно возрастает. 0.10
C5. 3 $v{<}c$ при $p{>}p_t$. 0.10
C5. 4 $(p{<}p_t)$: На графике отображено, что величина $v/c$ монотонно возрастает. 0.10
C5. 5 $v{>}c$ при $p{<}p_t$. 0.10
C5. 6 None
C5. 7 None
C6  0.80 Для формы сопла, определенной в пункте B3, массовый расход газа на выходе из сопла можно представить в виде:
$$\lambda=C(A_\text{вых}{,}\gamma{,}p_c{,}\rho_c)\cdot f(p/p_c){,}
$$
где $C$ — постоянная величина, зависящая только от $A_\text{вых}$, $\gamma$, $p_c$ и $\rho_c$, а $f(p/p_c)$ — функция, зависящая только от отношения $p/p_c$ и $\gamma$.
Определите функцию $f(p/p_c)$. Ответ выразите через $p/p_c$ и $\gamma$.
Постройте качественный график массового расхода $\lambda$ от давления на выходе из сопла ($p/p_c\in[0;1]$). Если на графике имеются особые точки, то укажите их на графике и получите соответствующие им аналитические выражения $p/p_c$.

C6. 1 Получено выражение для $f(p/p_c)$:
$$f(p/p_c)=\sqrt{\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{2/\gamma}-\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma+1)/\gamma}}
$$
0.20
C6. 2 На графике $\lambda=0$ при $p=0$. 0.10
C6. 3 На графике $\lambda=0$ при $p=p_c$. 0.10
C6. 4 На графике есть максимум $\lambda$. 0.10
C6. 5 Определена величина $x_m=(p/p_c)_m$, соответствующая максимальному значению $\lambda$:
$$x_m=\left(\cfrac{2}{\gamma+1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}{.}
$$
0.10
C6. 6 None
D1  0.50 Найдите удельный импульс, приобретаемый ракетой, при полете в атмосфере. Ответ выразите через $p_0$, $p$, $A$ и $v$.
Удельный импульс – это дополнительный импульс, приобретаемый ракетой, при выбросе единицы массы топлива.

D1. 1 Учёт реактивной силы
$$F_\text{h}=\lambda v{.}
$$
0.20
D1. 2 Учёт силы сопротивления атмосферы:
$$F_\text{с}=-(p_0-p)A{.}
$$
0.20
D1. 3 Ответ:
$$\cfrac{F}{\lambda}=v-\cfrac{(p_0-p)A}{\lambda}{.}
$$
0.10