Pho.rs: Ракетный двигатель

A1 ^0.50 Запишите уравнение движения цилиндра. Определите градиент давления $dp/dx$. Ответ выразите через $\rho$, $v$ и $dv/dx$.

1 Правильно записано уравнение движения цилиндра (или ЗСИ в фикс. объеме).	0.30
2 ЗСИ приведён к виду: $$\cfrac{dp}{dx}=-\rho v\cfrac{dv}{dx}{.} $$	0.20

A2 ^0.50 Определите величину скорости звука $c$ в газе. Ответ выразите через $p$, $\rho$ и показатель адиабаты $\gamma$.

1 Вывод формулы для $c$: $$c=\sqrt{\left(\cfrac{\partial p}{\partial \rho}\right)_S}{.} $$	0.30
2 Ответ: $$c=\sqrt{\cfrac{\gamma p}{\rho}}{.} $$	0.20

B1 ^1.00 Обозначим площадь поперечного сечения сопла за $A$. Определите величину $dA/dx$. Ответ выразите через $A$, $v$, $c$ и $dv/dx$.

1 Записано уравнение неразрывности: $$\rho vA=const\to{\cfrac{d\rho}{\rho}+\cfrac{dv}{v}=-\cfrac{dA}{A}}{.} $$	0.30
2 Уравнение адиабаты: $$p\rho^{-\gamma}=const{.} $$	0.20
3 Получено уравнение: $$\cfrac{\gamma p}{\rho}\cfrac{d\rho}{dx}\cfrac{1}{\rho}=-v\cfrac{dv}{dx}\quad\text{или}\quad \cfrac{d\rho}{\rho}=-v\cfrac{dv}{c^2}{.} $$	0.30
4 Ответ: $$\cfrac{dA}{dx}=-A\cfrac{dv}{dx}\cfrac{1}{v}\left(1-\cfrac{v^2}{c^2}\right){.} $$	0.20

B2 ^0.50 Качественно постройте профиль сечения сопла $A(x)$, когда скорость газа на выходе $v{<}c$. Можно считать, что при входе в сопло скорость газа пренебрежимо мала. Укажите особые точки (если они есть).

1 На графике отражено, что $A$ монотонно падает с $x$.	0.30
2 Указано, что особых точек нет.	0.20
3

B3 ^0.50 Качественно постройте профиль сечения сопла $A(x)$, когда скорость газа на выходе $v{>}c$. Можно считать, что при входе в сопло скорость газа пренебрежимо мала. Укажите особые точки (если они есть).

1 На графике есть точка минимума.	0.30
2 Особая точка при $v=c$.	0.20
3

C1 ^2.00 Изготавливая ракетный двигатель, задается желаемое давление на выходе из сопла $p$. Найдите скорость истечения газа $v$ из сопла в зависимости от отношения $p/p_c$. Ответ выразите через $p_c$, $\rho_c$, $\gamma$ и отношение $p/p_c$.

1 Получено уравнение Бернулли: $$\cfrac{v^2}{2}+\cfrac{\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p}{\rho}=const{.} $$	1.00
2 Использовано уравнение адиабаты $$p\rho^{-\gamma}=const\quad\text{или}\quad T\rho^{1-\gamma}=const{.} $$	0.20
3 Выражение плотности через данные задачи: $$\rho=\rho_c\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{1/\gamma}{.} $$	0.20
4 Выражение для температуры через данные задачи: $$T=T_c\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}{.} $$	0.20
5 Выражение для скорости: $$v=\sqrt{\cfrac{2\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p_c}{\rho_c}\left(1-\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right)}{.} $$	0.40

C2 ^0.40 При каком значении $p'$ скорость истечения из сопла достигает максимального значения? Чему равна эта максимальная скорость $v_\text{max}$? Ответы выразите через $p_c$, $\rho_c$ и $\gamma$.

1 Получен ответ: $$p'=0{.} $$	0.20
2 Получен ответ: $$v=\sqrt{\cfrac{2\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p_c}{\rho_c}}{.} $$	0.20

C3 ^1.10 Как зависит площадь выходного сечения сопла $A$ от желаемого давления на выходе из сопла $p$ (при фиксированных параметрах на входе в сопло)? Т.е. найдите функцию $A(p/p_c)$, считая, что массовый расход в каждом сечении сопла постоянен и равен $\lambda$. Ответ выразите через $\lambda$, $p_c$, $\rho_c$, $\gamma$ и отношение $p/p_c$.

1 Уравнение неразрывности: $$\rho vA=const=\lambda{.} $$	0.20
2 Использовано уравнение адиабаты: $$p\rho^{-\gamma}=const{.} $$	0.20
3 Использовано выражение для скорости: $$v=\sqrt{\cfrac{2\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p_c}{\rho_c}\left(1-\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right)}{.} $$	0.20
4 Ответ: $$A=\cfrac{\lambda}{\rho_c\sqrt{\cfrac{2\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p_c}{\rho_c}}\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{1/\gamma}\left(1-\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right)^{1/2}}{.} $$	0.50

C4 ^1.50 Найдите отношение давлений $p_t/p_c$ в особых точках для пунктов B2 и B3. Ответ выразите через показатель адиабаты газа $\gamma$. Такие давления называют критическими.

1 Использовано уравнение Бернулли при $v=c$ и получено: $$\cfrac{p_t}{\rho_t}\cfrac{\gamma+1}{2}=\cfrac{p_c}{\rho_c}{.} $$	0.70
2 Использовано выражение для плотности: $$\rho=\rho_c\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{1/\gamma}{.} $$	0.30
3 Ответ: $$\cfrac{p_t}{p_c}=\left(\cfrac{2}{\gamma+1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}{.} $$	0.50

C5 ^0.70 Для формы сопла, определенной в пункте B3, определите зависимость величины $v/c$ от величины $p/p_c$. Ответ выразите через $\gamma$ и $p/p_c$.
Постройте качественные графики зависимости скорости течения газа $v/c$ вдоль сопла для случаев, когда давление на выходе больше критического ( $p/p_c>p_t/p_c$) и когда давление на выходе меньше критического ($p/p_c{<}p_t/p_c$).

1 Получено выражение для $v/v_c$ $$\cfrac{v}{c}=\sqrt{\cfrac{2}{\gamma-1}\left(\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(1-\gamma)/\gamma}-1\right)}{.} $$	0.30
2 $(p>p_t)$: На графике отображено, что величина $v/c$ монотонно возрастает.	0.10
3 $v{<}c$ при $p{>}p_t$.	0.10
4 $(p{<}p_t)$: На графике отображено, что величина $v/c$ монотонно возрастает.	0.10
5 $v{>}c$ при $p{<}p_t$.	0.10
6
7

C6 ^0.80 Для формы сопла, определенной в пункте B3, массовый расход газа на выходе из сопла можно представить в виде:
$$\lambda=C(A_\text{вых}{,}\gamma{,}p_c{,}\rho_c)\cdot f(p/p_c){,}
$$где $C$ — постоянная величина, зависящая только от $A_\text{вых}$, $\gamma$, $p_c$ и $\rho_c$, а $f(p/p_c)$ – функция, зависящая только от отношения $p/p_c$ и $\gamma$.
Определите функцию $f(p/p_c)$. Ответ выразите через $p/p_c$ и $\gamma$.
Постройте качественный график массового расхода $\lambda$ от давления на выходе из сопла ($p/p_c\in[0;1]$). Если на графике имеются особые точки, то укажите их на графике и получите соответствующие им аналитические выражения $p/p_c$.

1 Получено выражение для $f(p/p_c)$: $$f(p/p_c)=\sqrt{\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{2/\gamma}-\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma+1)/\gamma}} $$	0.20
2 На графике $\lambda=0$ при $p=0$.	0.10
3 На графике $\lambda=0$ при $p=p_c$.	0.10
4 На графике есть максимум $\lambda$.	0.10
5 Определена величина $x_m=(p/p_c)_m$, соответствующая максимальному значению $\lambda$: $$x_m=\left(\cfrac{2}{\gamma+1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}{.} $$	0.10
6

D1 ^0.50 Найдите удельный импульс, приобретаемый ракетой, при полете в атмосфере. Ответ выразите через $p_0$, $p$, $A$ и $v$.
Удельный импульс – это дополнительный импульс, приобретаемый ракетой, при выбросе единицы массы топлива.

1 Учёт реактивной силы $$F_\text{h}=\lambda v{.} $$	0.20
2 Учёт силы сопротивления атмосферы: $$F_\text{с}=-(p_0-p)A{.} $$	0.20
3 Ответ: $$\cfrac{F}{\lambda}=v-\cfrac{(p_0-p)A}{\lambda}{.} $$	0.10

Ракетный двигатель

Разбалловка