A1  ^0.50 Запишите уравнение движения цилиндра. Определите градиент давления $dp/dx$. Ответ выразите через $\rho$, $v$ и $dv/dx$.

Запишем закон изменения импульса в проекции на ось $x$ для выделенного цилиндра:
$$dF_x=(p(x)-p(x+dx))S=-Sdp=a_xdm=\rho Sa_xdx{,}
$$откуда:
$$\cfrac{dp}{dx}=-\rho a_x{.}
$$Поскольку движение газа является стационарным – скорость движения газа $v_x$ является функцией только координаты $x$. Таким образом:
$$a_x=\cfrac{dv_x}{dt}=\cfrac{dv_x}{dx}\cfrac{dx}{dt}=v_x\cfrac{dv_x}{dx}{.}
$$Тогда для градиента давления имеем:

A2  ^0.50 Определите величину скорости звука $c$ в газе. Ответ выразите через $p$, $\rho$ и показатель адиабаты $\gamma$.

Выражение для скорости звука $c$ в газе даётся выражением:
$$c=\sqrt{\left(\cfrac{\partial p}{\partial \rho}\right)_S}{,}
$$где частная производная $p$ по $\rho$ берётся при постоянной энтропии $S$.
В адиабатическом процессе:
$$pV^\gamma=const\Rightarrow p\rho^{-\gamma}=const\Rightarrow \cfrac{dp}{d\rho}=\cfrac{\gamma p}{\rho}{.}
$$Таким образом:

B1  ^1.00 Обозначим площадь поперечного сечения сопла за $A$. Определите величину $dA/dx$. Ответ выразите через $A$, $v$, $c$ и $dv/dx$.

Массовый расход газа должен быть одинаков в каждой точке трубы в силу стационарности течения. Отсюда:
$$\rho vA=const\Rightarrow \cfrac{d\rho}{\rho}+\cfrac{dv}{v}+\cfrac{dA}{A}=0{.}
$$Тогда для $dA/dx$ имеем:
$$\cfrac{dA}{dx}=-A\left(\cfrac{1}{v}\cfrac{dv}{dx}+\cfrac{1}{\rho}\cfrac{d\rho}{dx}\right)
$$Избавимся от величины $d\rho/dx$ с помощью продифференцированного в $\mathrm{A2}$ уравнения адиабаты:
$$\cfrac{d\rho}{dx}=\cfrac{\rho}{\gamma p}\cfrac{dp}{dx}=\cfrac{1}{c^2}\cfrac{dp}{dx}{.}
$$Воспользовавшись результатом пункта $\mathrm{A1}$, получим:
$$\cfrac{d\rho}{dx}=-\cfrac{\rho v}{c^2}\cfrac{dv}{dx}{.}
$$Тогда для $dA/dx$ имеем:

B2  ^0.50 Качественно постройте профиль сечения сопла $A(x)$, когда скорость газа на выходе $v{<}c$. Можно считать, что при входе в сопло скорость газа пренебрежимо мала. Укажите особые точки (если они есть).

B3  ^0.50 Качественно постройте профиль сечения сопла $A(x)$, когда скорость газа на выходе $v{>}c$. Можно считать, что при входе в сопло скорость газа пренебрежимо мала. Укажите особые точки (если они есть).

C1  ^2.00 Изготавливая ракетный двигатель, задается желаемое давление на выходе из сопла $p$. Найдите скорость истечения газа $v$ из сопла в зависимости от отношения $p/p_c$. Ответ выразите через $p_c$, $\rho_c$, $\gamma$ и отношение $p/p_c$.

При расширении газ подчиняется уравнению Пуассона:
$$pV^\gamma=const\Rightarrow p^{1-\gamma} T^{\gamma}=const\Rightarrow T\sim p^{(\gamma-1)/\gamma}{.}
$$Далее для решения задачи нам понадобится уравнение Бернулли для линии тока:
$$\cfrac{v^2}{2}+\varphi+\cfrac{C_pT}{\mu}=const{.}
$$Приведём два способа его вывода.

Первый способ: переместим газ массой $dm$ из положения $1$ в положение $2$. С учётом стационарности движения закон сохранения энергии записывается следующим образом:

$$\delta{A}_\text{внеш}=p_1dV_1-p_2dV_2=dU+dW_p+dE_k=\cfrac{C_Vdm(T_2-T_1)}{\mu}+dm(\varphi_2-\varphi_1)+\cfrac{dm(v^2_2-v^2_1)}{2}{.}
$$

Поскольку $dV=dm/\rho$, получим:

$$\delta{A}_\text{внеш}=dm\left(\cfrac{p_2}{\rho_2}-\cfrac{p_1}{\rho_1}\right)\Rightarrow \cfrac{v^2}{2}+\varphi+\cfrac{C_VT}{\mu}+\cfrac{p}{\rho}=const{.}
$$

Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона:

$$pV=\nu RT\Rightarrow \cfrac{p}{\rho}=\cfrac{RT}{\mu}{.}
$$

Поскольку $C_p=C_V+R$, имеем:

$$\cfrac{v^2}{2}+\varphi+\cfrac{C_pT}{\mu}=const{.}
$$

Второй способ: Из уравнения Эйлера имеем:

$$\vec{a}=-\cfrac{\nabla p}{\rho}-\nabla\varphi{.}
$$

Рассмотрим скалярное произведение последнего выражения с вектором $d\vec{l}$, направленным вдоль данной линии тока:

$$\vec{a}\cdot d\vec{l}=\vec{v}\cdot d\vec{v}=vdv=-\cfrac{dp}{\rho}-d\varphi{.}
$$

Из уравнения Менделеева–Клапейрона получим:

$$\cfrac{1}{\rho}=\cfrac{RT}{\mu p}\Rightarrow vdv=-\cfrac{RT}{\mu}\cfrac{dp}{p}-d\varphi{.}
$$

Продифференцируем уравнение Пуассона в координатах $pT$:

$$T^\gamma p^{1-\gamma}=const\Rightarrow\gamma T^{\gamma-1}dTp^{1-\gamma}+(1-\gamma)T^{\gamma}p^{-\gamma}dp=0\Rightarrow \cfrac{dp}{p}=\cfrac{\gamma}{\gamma-1}\cfrac{dT}{T}{.}
$$

Таким образом:

$$vdv+\cfrac{\gamma RdT}{(\gamma-1)\mu}+d\varphi=0\Rightarrow \cfrac{v^2}{2}+\varphi+\cfrac{C_pT}{\mu}=const{.}
$$

Из уравнения Бернулли имеем:
$$\cfrac{C_pT_c}{\mu}=\cfrac{v^2}{2}+\cfrac{C_pT}{\mu}\Rightarrow v=\sqrt{\cfrac{2C_pT'}{\mu}\left(1-\cfrac{T}{T_c}\right)}{.}
$$Отношение $T/T_c$ определим из уравнения Пуассона:
$$\cfrac{T}{T_c}=\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}{.}
$$Окончательно с учётом уравнения Менделеева–Клапейрона находим:

C2  ^0.40 При каком значении $p'$ скорость истечения из сопла достигает максимального значения? Чему равна эта максимальная скорость $v_\text{max}$? Ответы выразите через $p_c$, $\rho_c$ и $\gamma$.

Максимум скорости достигается при минимальном давлении $p$, поэтому:

C3  ^1.10 Как зависит площадь выходного сечения сопла $A$ от желаемого давления на выходе из сопла $p$ (при фиксированных параметрах на входе в сопло)? Т.е. найдите функцию $A(p/p_c)$, считая, что массовый расход в каждом сечении сопла постоянен и равен $\lambda$. Ответ выразите через $\lambda$, $p_c$, $\rho_c$, $\gamma$ и отношение $p/p_c$.

На выходе имеем:
$$\lambda=Av\rho{.}
$$Выражение для скорости было получено в пункте $\mathrm{C1}$, а плотность $\rho$ определим из уравнения Пуассона:
$$p\rho^{-\gamma}=p_c\rho^{-\gamma}_c\Rightarrow \rho=\rho_c\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{1/\gamma}{.}
$$Окончательно:

C4  ^1.50 Найдите отношение давлений $p_t/p_c$ в особых точках для пунктов B2 и B3. Ответ выразите через показатель адиабаты газа $\gamma$. Такие давления называют критическими.

Воспользуемся уравнением Бернулли:
$$\cfrac{\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p_c}{\rho_c}=\cfrac{v^2}{2}+\cfrac{\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p_t}{\rho_t}{.}
$$В особой точке $v=c=\sqrt{\gamma p_t/\rho_t}$, поэтому:
$$\cfrac{p_c}{\rho_c}=\cfrac{\gamma-1}{2}\cfrac{p_t}{\rho_t}+\cfrac{p_t}{\rho_t}=\cfrac{\gamma+1}{2}\cfrac{p_t}{\rho_t}{.}
$$Из уравнения Пуассона имеем:
$$\cfrac{\rho_t}{\rho_c}=\left(\cfrac{p_t}{p_c}\right)^{1/\gamma}{,}
$$откуда:

C5  ^0.70 Для формы сопла, определенной в пункте B3, определите зависимость величины $v/c$ от величины $p/p_c$. Ответ выразите через $\gamma$ и $p/p_c$.
Постройте качественные графики зависимости скорости течения газа $v/c$ вдоль сопла для случаев, когда давление на выходе больше критического ( $p/p_c>p_t/p_c$) и когда давление на выходе меньше критического ($p/p_c{<}p_t/p_c$).

Получим искомую зависимость:
$$\cfrac{v}{c}=\cfrac{\sqrt{\cfrac{2\gamma}{\gamma-1}\cfrac{p_c}{\rho_c}\left(1-\left(\cfrac{p}{p_c}\right)\right)}}{\sqrt{\cfrac{\gamma p}{\rho}}}=\sqrt{\cfrac{2}{\gamma-1}\cfrac{p_c}{p}\cfrac{\rho}{\rho_c}\left(1-\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right)}{.}
$$С учётом уравнения Пуассона:
$$\cfrac{v}{c}=\sqrt{\cfrac{2}{\gamma-1}\left(\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(1-\gamma)/\gamma}-1\right)}{.}
$$Поскольку $dv/dx{>}0$ – $dp/dx{<}0$ по всей длине трубы, а значит величина $v/c$ монотонно возрастает во всей длине трубы.
Таким образом, при $p/p_c{>}p_t/p_c$ максимальное значение $v/c{<}1$, а при $p/p_c{<}p_t/p_c$ максимальное значение $v/c{>}1$.

C6  ^0.80 Для формы сопла, определенной в пункте B3, массовый расход газа на выходе из сопла можно представить в виде:
$$\lambda=C(A_\text{вых}{,}\gamma{,}p_c{,}\rho_c)\cdot f(p/p_c){,}
$$где $C$ — постоянная величина, зависящая только от $A_\text{вых}$, $\gamma$, $p_c$ и $\rho_c$, а $f(p/p_c)$ – функция, зависящая только от отношения $p/p_c$ и $\gamma$.
Определите функцию $f(p/p_c)$. Ответ выразите через $p/p_c$ и $\gamma$.
Постройте качественный график массового расхода $\lambda$ от давления на выходе из сопла ($p/p_c\in[0;1]$). Если на графике имеются особые точки, то укажите их на графике и получите соответствующие им аналитические выражения $p/p_c$.

Качественная зависимость $\lambda(p/p_c)$ имеет следующий вид:
$$\lambda=C\cdot\sqrt{\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{2/\gamma}-\left(\cfrac{p}{p_c}\right)^{(\gamma+1)/\gamma}}{,}
$$т.е:

Сразу обратим внимание, что при $p/p_c=x=0{;}1$ массовый расход обращается в ноль.
Также массовый расход имеет максимум при следующем значении $x_m$:
$$\cfrac{2}{\gamma}x^{(2-\gamma)/\gamma}-\cfrac{\gamma+1}{\gamma}x^{1/\gamma}=0\Rightarrow x_m=\left(\cfrac{2}{\gamma+1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}{.}
$$Качественный график приведён на рисунке ниже:

D1  ^0.50 Найдите удельный импульс, приобретаемый ракетой, при полете в атмосфере. Ответ выразите через $p_0$, $p$, $A$ и $v$.
Удельный импульс – это дополнительный импульс, приобретаемый ракетой, при выбросе единицы массы топлива.

При выбросе вещества импульс, получаемый ракетой в единицу времени, составляет:
$$\cfrac{dP}{dt}=F{,}
$$где $F$ – полная сила, действующая на ракету.
Тогда для удельного импульса, обусловленного реактивной тягой, имеем:
$$\cfrac{dP}{dm}=\cfrac{F}{\lambda}
$$Сила, действующая на ракету, складывается из силы реактивной тяги $F_\text{р}=\lambda v$, а также разности сил атмосферного давления и давления, действующего на вылетающий газ $F_\text{д}=-(p_0-p)A$.
Таким образом:
$$F=\lambda v-(p_0-p)A{,}
$$или же: