Pho.rs: Микроскопия сверхвысокого разрешения

A1 ^0.70 Выразите предел разрешения $\Delta_0=AB$ через $\lambda$ (длина волны света в вакууме), $D$, $n$, $n'$ и $\sin{u}$ (угол $u$ отмечен на рис. 2). При выводе пользуйтесь параксиальным приближением.

A1. 1 $$AB\sim{\cfrac{\lambda}{\sin u}} $$	0.30
A1. 2 $$AB\sim{\cfrac{1}{n}}{,}\text{не зависит от $n'$} $$	0.20
A1. 3 Правильный численный коэффициент в ответе: $$AB=\cfrac{0{,}61\lambda}{n\sin u} $$	0.20

A2 ^0.30 Изначально система находится в вакууме $n=n'=1$. Экспериментатор может наполнить пространство слева или справа от линзы (рис. 2) маслом. Куда нужно добавить масло, чтобы улучшить разрешение?
а) со стороны образца; б) со стороны изображения

A2. 1 Обоснован ответ:
$$\text{(а) со стороны образца}
$$

0.30

B1 ^0.50 Пусть на ансамбль из $N_0\gg{1}$, первоначально находящихся в состоянии $S$, начинает падать излучение с интенсивностью $I_1$ и длиной волны $\lambda_1$. Сколько в среднем молекул $N^*$ будет находиться в состоянии $S^*$, когда система достигнет динамического равновесия?

B1. 1 Ответ:
$$N^*=N_0\cfrac{\sigma_1I_1}{\sigma_1I_1+\cfrac{1}{\tau_{fl}}}
$$

0.50

B2 ^0.50 Постройте график зависимости $N^*(I_1)$, получившейся в пункте B1, и получите приближение при малых $I_1$.

B2. 1 График выходит из начала координат, $N\to{N_0}$ при больших $I_1$.	0.30
B2. 2 Получено приближение для малых $I_1$: $$N^*(I_1)=N_0\sigma_1I_1\tau_{fl} $$	0.20

B3 ^0.50 При каком радиусе пластинки $r_0$ минимум интенсивности $\lambda_3$ на образце равен нулю?

B3. 1 Ответ:
$$r_0=\cfrac{D}{2\sqrt{2}}
$$

0.50

B4 ^0.50 Преобразуйте формулу выше, используя приближение $y\ll{\Delta_0}$.

B4. 1 Ответ:
$$I_3(y)=I_{3{,}max}\cfrac{\pi^2}{4}\left(\cfrac{y}{\Delta_0}\right)^2
$$

0.50

B5 ^1.00 Пусть образец облучается одновременно двумя лазерами $I_1$ (распределение интенсивности (1)), и $I_3$ (распределение интенсивности из пункта B4). Доля $N^*/N_0$ молекул, находящихся в состоянии $S^*$, может быть записана как $$\cfrac{N^*}{N_0}=A\exp\left(-\cfrac{y^2}{\Delta^2_\text{cwSTED}}\right) $$ На практике мощность $I_{3,\text{max}}$ велика, и $\sigma_3I_{3,\text{max}}\gg{\sigma_1I_1(0)}$. Найдите параметры $A$ и $\Delta_\text{cwSTED}$.

Примечание: Используйте приближение $\cfrac{1}{1+x}\approx{1-x}\approx{e^{-x}}{,}x\ll{1}$.

B5. 1 $$A=\sigma_3I_{3{,}max}\tau_{fl} $$	0.20
B5. 2 $$\Delta_{cwSTED}=\cfrac{\Delta_0}{\sqrt{1+\cfrac{\pi^2}{4}\sigma_3I_{3{,}max}\tau_{fl}}} $$	0.80

B6 ^0.50 Нарисуйте на одном графике качественные зависимости $I_1(y)$, $I_3(y)$ и $\frac{N^*}{N_0}(y)$.

B6. 1 Все графики имеют правильный вид.

0.50

B7 ^0.50 Определите, при каком $I_{3,\text{max}}$ достигается десятикратный выигрыш в разрешении, т.е. $\Delta_\text{cwSTED}=\Delta_0/10$.

B7. 1 $$I_{3{,}max}\approx{\cfrac{40}{\sigma_3\tau_{fl}}}
$$

0.50

B8 ^1.00 Пусть теперь образец облучается в течение времени $\tau_1\ll{\tau_{fl}}$ лазером $I_1$ (распределение интенсивности $(1)$), а после этого в течение времени $\tau_3$ лазером $I_3$ (распределение интенсивности из пункта B4). Доля $N^*/N_0$ молекул, находящихся в состоянии $S^*$, может быть записана как
$$\cfrac{N^*}{N_0}=A\exp\left(-\cfrac{y^2}{\Delta^2_\text{pgtSTED}}\right)
$$
На практике мощность $I_{3,\text{max}}$ велика, и $\sigma_3I_{3,\text{max}}\gg{\sigma_1I_1(0)}$. Найдите параметры $A$ и $\Delta_\text{pgtSTED}$.

B8. 1 $$A=\sigma_1\tau_1I_1(0)\exp\left(-\cfrac{\tau_3}{\tau_{fl}}\right) $$	0.20
B8. 2 $$\Delta_{tgpSTED}=\cfrac{\Delta_0}{\sqrt{1+\cfrac{\pi^2}{4}\sigma_3I_{3{,}max}\tau_3}} $$	0.80

B9 ^2.00 Доля $N^*/N_0$ молекул, находящихся в состоянии $S^*$, может быть записана как
$$\cfrac{N^*}{N_0}=A\exp\left(-\cfrac{y^2}{\Delta^2_\text{GSD}}\right).
$$
Найдите параметры $A$ и $\Delta_\text{GSD}$.

B9. 1 $$A=\sigma_1\tau_1I_1(0) $$	0.40
B9. 2 $$\Delta_{GSD}=\cfrac{\Delta_0}{\sqrt{1+\cfrac{\pi^2}{4}\sigma_1I'_{1{,}max}\cfrac{\tau_{fl}\tau_{GSD}}{\tau_{ISC}}}} $$	1.60

C1 ^2.00 Пусть интенсивности сигналов, собранных каждым из объективов, равны $I_0$. Найдите интенсивности пучков, получаемых в результате интерференции на детекторах 1, 2, 3 и 4.

C1. 1 По $0{,}5$ ха каждую правильную интенсивность:
$$I_1=\cfrac{I_0}{2}\left(1+\sin\left(\cfrac{4\pi z}{\lambda}\right)\right)
$$
$$I_2=\cfrac{I_0}{2}\left(1+\cos\left(\cfrac{4\pi z}{\lambda}\right)\right)
$$
$$I_3=\cfrac{I_0}{2}\left(1-\sin\left(\cfrac{4\pi z}{\lambda}\right)\right)
$$
$$I_4=\cfrac{I_0}{2}\left(1-\cos\left(\cfrac{4\pi z}{\lambda}\right)\right)
$$

4 × 0.50

C2 ^0.50 Нарисуйте графики найденных в C1 зависимостей.

C2. 1 Графики – синусоиды с минимумом в $0$ и максимумом в $I_0$, периодом $\lambda/2$ и правильными фазами.

0.50

C3 ^0.50 Выразите $z$ через отношения $I_1/I_3$ и $I_2/I_4$, укажите, при каком сдвиге $z\to{z+\Delta{z}}$ эти отношения остаются неизменными?

C3. 1 Для $z$ получено хотя бы одно из двух выражений: $$z=\cfrac{\lambda}{4\pi}\arccos\left(\cfrac{I_2-I_4}{I_2+I_4}\right)=\cfrac{\lambda}{4\pi}\arcsin\left(\cfrac{I_1-I_3}{I_1+I_3}\right) $$	0.40
C3. 2 Ответ: $$\Delta=\cfrac{\lambda}{2} $$	0.10

Микроскопия сверхвысокого разрешения

Разбалловка