Из-за укорочения длины волны в веществе \[D = 1.22 \sin \phi \frac{\lambda}{n'},\] при этом рассмотрение преломления луча, проходящего через центр линзы дает уравнение \[\frac{AB}{x}=\frac{A'B'}{x'}n'.\] В итоге \[\Delta_0 = AB = \frac{xn'}{x'n}A'B' = 1.22 \frac{\lambda x}{nD} = \frac{0.61 \lambda}{n \sin u}\]

На предел разрешения влияет $n$ со стороны образца, поэтому правильный ответ а)

Приравняем вероятности переходов: \[ (N_0 - N^*) \sigma_1 I_1 = \frac{N^*}{\tau_{fl}},\] тогда \[N^* = N_0 \frac{\sigma_1 I_1}{\frac{1}{\tau_{fl}} + \sigma_1 I_1}\]

В приближении малых $I_1$ \[N^* \simeq N_0 \tau_{fl} \sigma I_1\]

Ответ:

Если пренебрегать дифракцией на краях линзы волны после нее синфазно сходятся в точке фокуса, поэтому если площадь пластинки $\pi r_0^2$ будет составлять половину от площади линзы $\pi D^2/4$, то амплитуда волн с фазой отличающихся на $\pi$ совпадает и интенсивность в фокусе окажется равной нулю.

Примечание: Используйте приближение $\cfrac{1}{1+x}\approx{1-x}\approx{e^{-x}}{,}x\ll{1}$.

Условие равновесия: \[ \sigma_1I_1 N^* = (N_0 - N^*) (\sigma_3 I_3 + \tau_{fl}^{-1}). \] Подстановка вида зависимости от $y$ приводит к результату: \[ N^* = N_0 \frac{\sigma_1 I_1(0) e^{-y^2/\Delta_0^2}}{\sigma_1 I_1(0) e^{-y^2/\Delta_0^2} + \sigma_3 I_{3,\text{max}}\frac{1}{2} \left(1 - \cos \frac{\pi y}{\Delta_0} \right) + \tau_{fl}^{-1}} \simeq N_0 \tau_{fl} \sigma_1 I_1(0) e^{-\frac{y^2}{\Delta_0^2} \left( 1+ \frac{\pi^2}{4} \tau_{fl} \sigma_3 I_{3,\text{max}} \right)}\]

После включения импульса $\lambda_1$ количество молекул в возбужденном состоянии равно $N_1(y)=N_0 \sigma_1 \tau_1 I_1(y)$. После включения импульса $\lambda_3$ их количество уменьшится до \[ N^*(y) = N_1(y) e^{-\sigma_3 I_3(y) \tau_3}.\] Подстановка приводит к результату \[ N^*(y) = N_0 \sigma_1 \tau_1 I_1(0) e^{-\frac{y^2}{\Delta_0^2}\left[ 1 + \frac{\pi^2 }{4} \sigma_3 \tau_3 I_{3,\text{max}} \right]}\]

Время $\tau_{ISC} \gg \tau_{fl}, 1/(\sigma_1 I_1)$ поэтому можно считать, что переход $S^* \to T$ является «возмущением» равновесного состояния $S$ и $S^*$. В каждый момент времени равновесие между количеством молекул $N$ в состоянии $S$ и количеством молекул $N^*$ в состоянии $S^*$ задается соотношением \[ \frac{N^*}{\tau_{fl}} = N \sigma_1 I_1' \quad \Rightarrow \quad N^* = (N+N^*) \frac{\tau_{fl}\sigma_1I_1'}{\tau_{fl}\sigma_1I_1' + 1}\] при этом общее количество молекул в состояниях $S$ и $S^*$ меняется только из-за перехода $S^* \to T$, т.е. $\dot{(N+N^*)} = - \frac{N^*}{\tau_{ISC}}$. После освещения светом $I_1'(y)$ в течении $\tau_1'$ мы имеем \[ \begin{split} N^*(y,\tau_1')+ N(y,\tau_1') = N_0 e^{-\frac{\tau_1'}{\tau_{ISC}} \frac{\tau_{fl}\sigma_1I_1'(y)}{\tau_{fl}\sigma_1I_1'(y) + 1}} \simeq N_0 e^{-\frac{\tau_1'}{\tau_{ISC}} \tau_{fl}\sigma_1I_{1,\text{max}}' \frac{\pi^2}{4 \Delta_0^2}y^2} \end{split} \] Во время освещения светом $I_1(y)$ в течении времени $\tau_1$ будет происходить ровно такой же процесс и \[ \begin{split} N^*(y) &= N_0 \frac{\tau_{fl}\sigma_1I_1(y)}{\tau_{fl}\sigma_1I_1(y) + 1} e^{-\frac{\tau_1'}{\tau_{ISC}} \tau_{fl}\sigma_1I_{1,\text{max}}' \frac{\pi^2}{4 \Delta_0^2}y^2} e^{-\frac{\tau_1}{\tau_{ISC}} \frac{\tau_{fl}\sigma_1I_1(y)}{\tau_{fl}\sigma_1I_1(y) + 1}} \simeq\\&\simeq N_0 \tau_{fl}\sigma_1I_1(0) e^{-\frac{y^2}{\Delta_0^2}} e^{-\frac{\tau_1'}{\tau_{ISC}} \tau_{fl}\sigma_1I_{1,\text{max}}' \frac{\pi^2}{4 \Delta_0^2}y^2} e^{-\frac{\tau_1}{\tau_{ISC}} \tau_{fl}\sigma_1I_1(0)} \end{split} \]

Рассмотрим комплексную амплитуду поля в разных точках по отношению к амплитуде поля после каждого из объективов.

Непосредственно из таблицы \[ E_2 = \frac{1}{2} \left( e^{ikz+i\varphi_a+i\pi/2} +e^{-ikz} \right) = \cos{kz}\] \[I_2/I_0 = |E_2|^2 = \cos^2 kz = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos 2kz \right)\] и \[ E_4 = \frac{1}{2} \left( e^{ikz+i\varphi_a} +e^{-ikz+i\pi/2} \right) = \sin kz\] \[I_4/I_0 = |E_4|^2 = \sin^2 kz = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos 2kz \right).\] Складывая с учетом фазы поле волн, приходящих сверху и снизу на правую призму, получим \[ E_1 = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( e^{ikz+i\varphi_a+i\pi/2} +e^{-ikz} \right) e^{i\pi/2}e^{i \varphi_b}e^{i\pi/2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( e^{ikz+i\varphi_a} +e^{-ikz+i\pi/2} \right) e^{i\pi/2} = \frac{i}{\sqrt{2}} \left(\cos kz + \sin kz\right) \] \[ I_1/I_0= |E_1|^2 = \frac{1}{2} \left(1 + \sin 2 kz\right) \] и \[ E_3 = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( e^{ikz+i\varphi_a+i\pi/2} +e^{-ikz} \right) e^{i\pi/2}e^{i \varphi_b}+ \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( e^{ikz+i\varphi_a} +e^{-ikz+i\pi/2} \right) e^{i\pi/2}e^{i\pi/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\cos kz-\sin kz \right) \] \[ I_3/I_0= |E_3|^2 = \frac{1}{2} \left(1 - \sin 2 kz\right) \]

\[\frac{I_1}{I_3} = \frac{1 + \sin \frac{4\pi z}{\lambda}}{1 - \sin \frac{4\pi z}{\lambda}}, \quad \frac{I_2}{I_4} = \frac{1 + \cos \frac{4\pi z}{\lambda}}{1 - \cos \frac{4\pi z}{\lambda}} \]