Пусть точка с фазой $\varphi$ двигается по траектории $x(t)$:
\[kx(t) - \omega t + \varphi_0 = \varphi,\]тогда
\[ x(t) = \frac{\varphi - \varphi_0}{k} + \frac{\omega}{k} t\]

Запишем условие на положение максимума волнового пакета $x(t)$
\[ \frac{dA}{dx} = A_0 \left[ k_1 \sin (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_1) + (k_1 + \Delta k) \sin \left( (k_1 + \Delta k) x(t) - \left(\omega_1 + \frac{d \omega}{dk} \Delta k \right) t - \varphi_2 \right) \right] = 0. \]Используя формулу $\sin(\varphi + \Delta \varphi) \simeq \sin \varphi + \Delta \varphi \cdot \cos \varphi$, с точностью до малых второго порядка получим:
\[
\begin{split}
\frac{1}{A_0} \frac{dA}{dx} &\simeq
k_1 \left[ \sin (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_1) + \sin (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_2) \right]
+\\&+ \Delta k \sin (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_2) +\\&+
k_1 \Delta k \left[ x(t) - \frac{d \omega}{dk} t \right] \cos (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_2)
\end{split} \]

Мы изучаем положение максимума, где $\cos (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_1) \approx \cos (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_2)\approx 1$ и $\sin (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_1) \approx \sin (k_1 x(t) - \omega_1 t - \varphi_1)\approx 0$, поэтому уравнение на положение максимума имеет вид:
\[ x(t) = \frac{d \omega}{dk} t \]

Воспользуемся стандартным методом нахождения фазовой скорости: перейдем в систему отсчета двигающуюся со скоростью $v_{ph}$. В этой системе отсчета потоки жидкости являются стационарными. Этот факт заметно упрощает написание физических уравнений.

Во-первых, в силу стационарности в центральной области не должна накапливаться масса, т.е.
\[ v_{ph} h = (v_{ph} - u) (h+ \Delta h) \tag{1}. \]Во-вторых, должен выполнять второй закон Ньютона. В качестве рассматриваемого тела выберем область воды между срезами $1$ и $2$. За $L$ обозначим толщину системы в направлении перпендикулярном плоскости рисунка. Запишем гидростатические силы $F_{1,2}$, действующие на поверхности $1$ и $2$. Будем пренебрегать гидродинамическим давлением.
\[F_1 = L \int\limits_0^{h} \rho gh \, dh = \rho g L \frac{h^2}{2}, \quad F_2 = L \int\limits_0^{h+\Delta h} \rho gh \, dh = \rho g L \frac{(h+\Delta h)^2}{2} \simeq \rho g L \frac{h^2+2 h \Delta h}{2} . \]За время $dt$ правая поверхность $1$ сдвинется на $dl_1 = v_{ph} \, dt$, ее масса $dm_1= \rho L h \, dl_1 = \rho L h v_{ph} \, dt$. Аналогично $dm_2 = \rho L (h+\Delta h) (v_{ph} - u) \, dt$. За время $dt$ под действием сил $F_1$ и $F_2$ импульс рассмотренного объема изменился на $dm_2 (v_{ph} - u) - dm_1 v_{ph}$. Значит
\[ \rho g L \frac{h^2}{2} \, dt - \rho g L \frac{h^2+2 h \Delta h}{2} \, dt = dm_2 (v_{ph} - u) - dm_1 v_{ph}.\]Подстановка и сокращение дает выражение $g \Delta h = v_{ph} u$. Если подставить в него уравнение (1) и воспользоваться $\Delta h \ll h$, то получается ответ.

Длина волны $\lambda$ связана с волновым вектором соотношением $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, значит
\[ \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{g}{k}} \quad \Rightarrow \quad \omega = \sqrt{gk}\]

Точка постоянной фазы двигается со скоростью $\frac{v_{ph}}{\cos \psi}$, поэтому $u=\frac{v_{ph}}{\cos \psi}$

\[u=\frac{v_{ph}}{\cos \psi}\]

За время $dt$ цуг пройдет расстояние $v_g \, dt = \frac{1}{2} v_{ph} \, dt$ в направлении под углом $\psi$.

\[
\begin{cases}
dx = \frac{u}{2} \cos^2 \psi \, dt\\
dy = \frac{u}{2} \cos \psi \sin \psi \, dt
\end{cases}
\]

Воспользуемся формулами двойного угла: $2 \cos^2 \psi = 1 + \cos 2 \psi$, $\cos \psi \sin \psi = \frac{\sin 2 \psi}{2}$, тогда
\[
\begin{cases}
dx = \frac{u}{4} \left( 1+ \cos 2 \psi \right) \, dt\\
dy = \frac{u}{4} \sin 2 \psi \, dt
\end{cases}.
\]

Учитывая, что $\psi \in [-\pi, \pi]$, ГМТ – окружность радиусом $\frac{u\, dt}{4}$ с центром в точке $x= \frac{u\, dt}{4}$.

Ответ:

За время $dt$ источник сдвигается на расстояние $u\, dt$, поэтому угол раствора подчиняется соотношению $\sin \alpha = \dfrac{\frac{3}{4} u \, dt}{\frac{1}{4} u \, dt} =\frac{1}{3}$