A1  ^0.50 Выведите формулу, позволяющую определить давление воздуха на любой высоте $h$ относительно уровня поверхности Земли. Ответ выразите через $p_0$, $\mu$, $g$, $R$, $T$ и $h$.

1 Записано уравнение состояния идеального газа: $$p=\cfrac{\rho RT}{\mu}{.} $$	0.10
2 Записано условие гидростатического равновесия воздуха: $$dp=-\rho gdh{.} $$	0.20
3 Получено выражение для $p(h)$: $$p(h)=p_0\exp\left(-\cfrac{\mu gh}{RT}\right){.} $$	0.20

A2  ^0.50 Определите высоту $H$ на которой давление изменяется в $e$ раз. Ответ выразите через $R$, $T$, $\mu$ и $g$.

1 Получено выражение для $H$: $$H=\cfrac{RT}{\mu g}{.} $$

0.50

A3  ^4.00 На какой глубине $h$ следует прорыть туннель вдоль поверхности Земли, чтобы свет циркулировал в нём по замкнутой орбите? Считайте, что $h\ll{r_0}$. Ответ выразите через $R$, $T$, $\mu$, $g$, $r_0$ и $n_0$. Рассчитайте полученное значение $h$.

1 Получена зависимость показателя преломления $n$ от глубины $h$ канала: $$n=1+(n_0-1)\exp\left(\cfrac{\mu gh}{RT}\right) $$	0.50
2 Любым способом получено, что условием движения пучка лучей по круговой орбиты является экстремум функции $rn(r)$.	1.00
3 Функция $rn(r)$ продифференцирована: $$n(r)+r\cfrac{dn(r)}{dr}=0{.} $$	0.50
4 Составлено уравнение, позволяющее определить $h$: $$1+(n_0-1)\exp\left(\cfrac{\mu gh}{RT}\right)=(r_0-h)(n_0-1)\exp\left(\cfrac{\mu gh}{RT}\right)\cfrac{\mu g}{RT}{.} $$	1.00
5 Получено выражение для $h$: $$h\approx \cfrac{RT}{\mu g}\ln\cfrac{RT}{\mu gr_0(n_0-1)}{.} $$	0.50
6 Определено численное значение $h$: $$h\approx 13{.}6~\text{км}{.} $$	0.50