Logo
Logo

Свет в конце тоннеля...

Разбалловка

A1  0,50 Выведите формулу, позволяющую определить давление воздуха на любой высоте $h$ относительно уровня поверхности Земли. Ответ выразите через $p_0$, $\mu$, $g$, $R$, $T$ и $h$.

A1. 1 Записано уравнение состояния идеального газа:
$$p=\cfrac{\rho RT}{\mu}{.}
$$
0,10
A1. 2 Записано условие гидростатического равновесия воздуха:
$$dp=-\rho gdh{.}
$$
0,20
A1. 3 Получено выражение для $p(h)$:
$$p(h)=p_0\exp\left(-\cfrac{\mu gh}{RT}\right){.}
$$
0,20
A2  0,50 Определите высоту $H$ на которой давление изменяется в $e$ раз. Ответ выразите через $R$, $T$, $\mu$ и $g$.

A2. 1 Получено выражение для $H$:
$$H=\cfrac{RT}{\mu g}{.}
$$
0,50
A3  4,00 На какой глубине $h$ следует прорыть туннель вдоль поверхности Земли, чтобы свет циркулировал в нём по замкнутой орбите? Считайте, что $h\ll{r_0}$. Ответ выразите через $R$, $T$, $\mu$, $g$, $r_0$ и $n_0$. Рассчитайте полученное значение $h$.

A3. 1 Получена зависимость показателя преломления $n$ от глубины $h$ канала:
$$n=1+(n_0-1)\exp\left(\cfrac{\mu gh}{RT}\right)
$$
0,50
A3. 2 Любым способом получено, что условием движения пучка лучей по круговой орбиты является экстремум функции $rn(r)$. 1,00
A3. 3 Функция $rn(r)$ продифференцирована:
$$n(r)+r\cfrac{dn(r)}{dr}=0{.}
$$
0,50
A3. 4 Составлено уравнение, позволяющее определить $h$:
$$1+(n_0-1)\exp\left(\cfrac{\mu gh}{RT}\right)=(r_0-h)(n_0-1)\exp\left(\cfrac{\mu gh}{RT}\right)\cfrac{\mu g}{RT}{.}
$$
1,00
A3. 5 Получено выражение для $h$:
$$h\approx \cfrac{RT}{\mu g}\ln\cfrac{RT}{\mu gr_0(n_0-1)}{.}
$$
0,50
A3. 6 Определено численное значение $h$:
$$h\approx 13{.}6~\text{км}{.}
$$
0,50