Logo
Logo

Свет в конце тоннеля...

A1  0.50 Выведите формулу, позволяющую определить давление воздуха на любой высоте $h$ относительно уровня поверхности Земли. Ответ выразите через $p_0$, $\mu$, $g$, $R$, $T$ и $h$.

Запишем уравнение состояния идеального газа:
$$p=\cfrac{\rho RT}{\mu}{.}
$$
Из условия гидростатического равновесия получим:
$$dp=-\rho gdh\Rightarrow \cfrac{dp}{p}=-\cfrac{\mu gdh}{RT}{.}
$$
Проинтегрируем полученное выражение:
$$\int\limits_{p_0}^{p(h)}\cfrac{dp}{p}=-\int\limits_{0}^{h}\cfrac{\mu gdh}{RT}\Rightarrow \ln\cfrac{p(h)}{p_0}=-\cfrac{\mu gh}{RT}{.}
$$
Таким образом:

Ответ: $$p(h)=p_0\exp\left(-\cfrac{\mu gh}{RT}\right){.}
$$

A2  0.50 Определите высоту $H$ на которой давление изменяется в $e$ раз. Ответ выразите через $R$, $T$, $\mu$ и $g$.

Если $p(h)=p_0/e$, имеем:
$$\cfrac{\mu gH}{RT}=1{,}
$$
откуда:

Ответ: $$H=\cfrac{RT}{\mu g}
$$

A3  4.00 На какой глубине $h$ следует прорыть туннель вдоль поверхности Земли, чтобы свет циркулировал в нём по замкнутой орбите? Считайте, что $h\ll{r_0}$. Ответ выразите через $R$, $T$, $\mu$, $g$, $r_0$ и $n_0$. Рассчитайте полученное значение $h$.

Показатель преломления определяется соотношением:
$$n=1+kp\Rightarrow k=\cfrac{n_0-1}{p_0}\Rightarrow n=1+\cfrac{(n_0-1)p}{p_0}{.}
$$
Поскольку канал прорыт внутрь Земли:
$$p(h)=p_0\exp\left(\cfrac{\mu gh}{RT}\right)\Rightarrow n=1+(n_0-1)\exp\left(\cfrac{\mu gh}{RT}\right){.}
$$
Для движения пучка лучей по окружности время обращения по круговой орбите должно испытывать экстремум. Для этого времени имеем:
$$T=\cfrac{2\pi rn(r)}{c}\Rightarrow \cfrac{d(rn(r))}{dr}=0{,}
$$
где $r=r_0-h$ — радиус круговой орбиты.
Таким образом, условие, при котором пучок лучей движется по окружности следующее:
$$n(r)+r\cfrac{dn(r)}{dr}=0{.}
$$
Подставляя выражение для $n(h)$, получим:
$$1+(n_0-1)\exp\left(\cfrac{\mu gh}{RT}\right)=(r_0-h)(n_0-1)\exp\left(\cfrac{\mu gh}{RT}\right)\cfrac{\mu g}{RT}{.}
$$
Поскольку $\Delta{n}\ll{1}$ и $h\ll{R}$, имеем:
$$(n_0-1)\cfrac{\mu gr_0}{RT}\exp\left(\cfrac{\mu gh}{RT}\right)\approx 1{,}
$$
откуда:

Ответ: $$h\approx \cfrac{RT}{\mu g}\ln\cfrac{RT}{\mu gr_0(n_0-1)}\approx 13{.}6~\text{км}{.}
$$