Pho.rs: Механическая модель фазовых переходов

A1 ^0.50 Запишите законы движения бусинки в проекциях на радиальное и тангенциальное направления. (Считаем, что $\theta$ возрастает в направлении против часовой стрелки).

1 В радиальном направлении: $m R \dot{\theta}^{2}=N-m g \cos (\theta)-m R \sin ^{2}(\theta) \omega^{2}$	0.20
2 В касательном направлении: $m R \ddot{\theta}=m R \sin (\theta) \cos (\theta) \omega^{2}-m g \sin (\theta)-\operatorname{sgn}(\dot{\theta}) k N$ или $m R \ddot{\theta}=m R \sin (\theta) \cos (\theta) \omega^{2}-m g \sin (\theta)-fk N$, $f=1$	0.30

B1 ^1.00 Выразите углы $\theta_0$, соответствующие положению(-ям) равновесия, через $\omega$ и $\omega_c$.

1 $\theta_0 = 0$ является положением равновесия при любых $\omega$	0.40
2 Уравнение на другое положение равновесия: $\cos \theta_0 = \cfrac{g}{\omega^2 R} = \cfrac{\omega_c^2}{\omega^2}$	0.30
3 Другое положение равновесия: $\theta_0 = \pm\|\arccos{\cfrac{\omega_c^2}{\omega^2}}\|$	0.10
4 При $\omega<\omega_c$ существует только одно положение равновесия ($\theta_0 = 0$)	0.20

B2 ^0.50 Схематично изобразите график зависимости $\theta_0$ (по вертикальной оси) от $\omega/\omega_c$ (по горизонтальной).

1
2 Верная форма графика	0.20
3 Присутствуют обе ветви	0.30

B3 ^0.50 Схематично изобразите график зависимости модуля силы нормальной реакции опоры $N$ в положении устойчивого равновесия от $\omega/\omega_c$ .

1
2 Верная ветвь при $\omega<\omega_c$	0.20
3 Рисунок неверный, но показано, что $N = mg$ при $\omega<\omega_c$	0.10
4 Верная ветвь при $\omega>\omega_c$	0.30
5 Рисунок неверный, но показано, что $N = m\omega^2R$ при $\omega>\omega_c$	0.10

B4 ^1.00 Пусть $F_\theta$ --- тангенциальная проекция суммы сил, действующих на бусинку. Можно определить соответствующую потенциальную энергию $V(\theta)$ следующим образом: TEXEQUATION причем примем $V(\theta) = 0$ при $\theta=0$. $V(\theta)$ представимо в виде $V(\theta) = P+Q\cos(\theta)+S\sin^2(\theta)$. Выразите $P,Q,S$.

1 M1 Идея интегрирования: $V-0 = \int\limits_0^V dV = -R \int\limits_0^\theta F_\theta \, d\theta$	0.30
2 M1 Проинтегрирована сила: $-R \int\limits_{0}^{\theta} F_{\theta} d \theta =\cfrac{m \omega^{2} R^{2}\left(\cos (2 \theta)-1\right)}{4}-m g R\left(\cos \theta-1\right)$	0.40
3 M1 $V(\theta)=m g R\left[(1-\cos \theta)-\cfrac{\omega^{2}}{2 \omega_{c}^{2}} \sin ^{2} \theta\right]$, т.е. $P = mgR$ $Q = -mgR$ $S = - \cfrac{\omega^2 mgR}{2 \omega_c^2}$	0.30
4 M2 Дифференцирование: $F_{\theta}=m R \sin \theta \cos \theta \, \omega^{2}-m g \sin \theta=-\cfrac{1}{R} \cfrac{d V(\theta)}{d \theta}=\cfrac{Q}{R} \sin \theta - 2 \cfrac{S}{R} \sin \theta \cos \theta$	0.30
5 M2 $Q = -mgR$	0.20
6 M2 $S = - \cfrac{\omega^2 mgR}{2 \omega_c^2}$	0.20
7 M2 $P = mgR$ (из условия $V(0) = 0$)	0.30

B5 ^1.00 $V(\theta)$ при малых $\theta$ представимо в виде $V(\theta) = a(\omega)\, \theta^2 + b(\omega)\, \theta^4$. Выразите коэффициенты $a(\omega)$ и $b(\omega)$.

1 $a(\omega)=\cfrac{m g R}{2}\left(1-\cfrac{\omega^{2}}{\omega_{c}^{2}}\right)$	0.50
2 $b(\omega)=\cfrac{m g R}{6}\left(\cfrac{\omega^{2}}{\omega_{c}^{2}} - \cfrac{1}{4}\right)$ (отсутствие слагаемого $-\cfrac{1}{4}$ не наказывается)	0.50

B6 ^1.00 Схематично изобразите характерные графики зависимости $V(\theta)$ от $\theta$ для двух значений $\omega/\omega_c$: $\omega/\omega_c = 0.9$ и $\omega/\omega_c = 5.0$. Количественные расчеты не требуются.

1
2 Кривая для $\omega<\omega_c$ (красная)	0.50
3 Кривая для $\omega>\omega_c$ (синяя)	0.50

B7 ^1.00 Теория Ландау фазовых переходов второго рода утверждает, что магнитную систему при температурах $T$ выше критической температуры $T_c$ можно считать парамагнитной, а при $T < T_c$ --- ферромагнитной. Зависимость намагниченности $\mathcal M$ от температуры $T$ задается формулой $\mathcal{M}(T) = \mathcal{M}_0 \left(1 - \cfrac{T}{T_c}\right)^{1/2}$. Обозначим степень $1/2$ через $\beta$, т.е. пусть $\mathcal{M}(T) = \mathcal{M}_0 \left(1 - \cfrac{T}{T_c}\right)^{\beta}$. Можно сопоставить описанную теорию фазовых переходов с рассмотренной ранее механической задачей. Что в механике служит аналогом величин $\mathcal{M}$, $T_c$, $T/T_c$? Чему в механике равна $\beta$?

1 M1 В записи $\theta_{0}=\pm \sqrt{2}\left[1-\cfrac{\omega_{c}^{2}}{\omega^{2}}\right]^{1 / 2}$: $\mathcal M \to \theta$	0.40
2 M1 $T_c \to \cfrac{1}{\omega_c^2}$, $\cfrac{T}{T_c} \to \cfrac{\omega_c^2}{\omega^2}$	0.40
3 M1 $\beta = 1/2$	0.20
4 M2 В записи $\sin\theta_{0}=\left(1-\cfrac{\omega_{c}^{4}}{\omega^{4}}\right)^{1 / 2}$: $\mathcal M \to \sin\theta$	0.40
5 M2 $T_c \to \cfrac{1}{\omega_c^4}$, $\cfrac{T}{T_c} \to \cfrac{\omega_c^4}{\omega^4}$	0.40
6 M2 $\beta = 1/2$	0.20

B8 ^1.00 Выразите угловую частоту $\Omega_0$ колебаний бусинки вблизи ее положения равновесия $\theta_0$. Используйте, что для малых колебаний $\Omega_0 = \dfrac{1}{R} \sqrt{\dfrac{V''(\theta_0)}{m}}$.

1 При $\omega < \omega_c$, т.е. когда колебания вокруг $\theta_0 = 0$: $\Omega_0 = (\omega_c^2 - \omega^2)^{1/2}$	0.50
2 При $\omega > \omega_c$: $\Omega_0 = \omega \left( 1 - \cfrac{\omega_c^4}{\omega^4} \right)^{1/2}$	0.50

B9 ^1.00 Схематично изобразите график зависимости $\Omega_0$ от $\omega$.

1
2 Верная ветвь при $\omega<\omega_c$ (или верно построена по неверно полученному выражению)	0.50
3 Верная ветвь при $\omega>\omega_c$ (или верно построена по неверно полученному выражению)	0.50

C1 ^1.00 Примите $f=1$, а вместо $k$ введите выражение $k = \operatorname{tg} \alpha$. Условие на положение(-я) равновесия $\theta_0$ можно переписать в виде: $ \left(\dfrac{\omega}{\omega_c}\right)^2 = \dfrac{\operatorname{tg} x}{\sin y}$. Найдите $x$ и $y$.

1 $\ddot{\theta}=\omega_{c}^{2}\left[\sin \theta\,(\cos \theta-f k \sin\theta)\left(\cfrac{\omega}{\omega_{c}}\right)^{2}-\sin \theta-f k \cos \theta-f k\left(\cfrac{\dot{\theta}}{\omega_{c}}\right)^{2}\right]$	0.20
2 $\sin \theta_{0}\left(\cos \theta_{0}-f k \sin \theta_{0}\right)\left(\cfrac{\omega}{\omega_{c}}\right)^{2}=\sin \theta_{0}+f k \cos \theta_{0}$	0.40
3 $x = \theta_0 + \alpha$ $y = \theta_0$	0.40
4 Из-за алгебраической ошибки получено $x = \theta_0 - \alpha$	-0.10

C2 ^0.50 Пусть $f =1$ и $k = 0.05$. Вычислите углы $\theta_0$ в положениях равновесия для двух случаев: – $\omega/\omega_c$ = 0.50 – $\omega/\omega_c$ = 0.70

1 Замечено, что $k = 0.05 \ll 1$, поэтому: $\sin \theta_0 \approx \theta_0$, $\mathrm{tg} (\theta_0 + \alpha) \approx \theta_0 + \alpha$	0.20
2 $\left(\cfrac{\omega}{\omega_{c}}\right)^{2} \approx 1+\cfrac{k}{\theta_{0}}$, поэтому: – $\theta_0 = -0.07~\text{рад.}$ при $\cfrac{\omega}{\omega_c} = 0.50$ – $\theta_0 = -0.1~\text{рад.}$ при $\cfrac{\omega}{\omega_c} = 0.70$	0.30

Механическая модель фазовых переходов

Разбалловка