В фазовом переходе второго рода «парамагнетик-ферромагнетик» свободная энергия (механический аналог которой — потенциальная энергия) зависит от намагниченности по следующему закону:
$$V(\mathcal{M})=a(T)\mathcal{M}^2+b(T)\mathcal{M}^4,$$
где \(T\) — температура, \(b(T) > 0\), \(a(T)\) может менять знак в зависимости от \(T\).
Теоретическое описание этого фазового перехода, как будет показано в процессе решения задачи, перекликается с рассмотрением следующей механической системы.
На кольцо радиуса \(R\) надета маленькая бусинка массы \(m\). Кольцо может вращаться вокруг своего вертикального диаметра с угловой скоростью \(\omega\) (рис. 1). Сила \(F_f\) направлена против скольжения бусинки по кольцу, пропорциональна силе нормальной реакции опоры \(N\) и равна \(F_f = fkN\), где число \(f\) может принимать значения \(1\) и \(-1\): пусть \(f=+1\), когда бусинка движется против часовой стрелки (в сторону возрастания угла \(\theta\)), и \(f=-1\), если наоборот. Таким образом, \(f=\operatorname{sign}\dot\theta\) (равно \(+1\) или \(-1\) в зависимости от знака \(\dot{\theta}\)).
Используйте полярные координаты \({r, \theta}\). Ответы выражайте через \(\omega_c=\sqrt{g/R}\) (\(g\) — ускорение свободного падения).
$\textit{Примечания.}$
При вращении материальной точки по окружности радиуса \(R\) можно рассчитать скорость как \(\dot{\vec{r}} = R \dot{\theta} \hat{{\theta}}\) и ускорение как \(\ddot{\vec{r}} = -R \dot{\theta}^2 \hat{{r}} + R \ddot{\theta} \hat{{\theta}}\), где введены единичные вектора \(\hat{r}\) (вдоль радиуса) и \(\hat{{\theta}}\) (вдоль касательной).
Также можете пользоваться разложениями (здесь \(\theta\) - в радианах, \(|x| \ll 1\)):
\(\sin\theta=\theta−\cfrac{\theta^3}{6}+\dots\)
\(\cos\theta=1−\cfrac{\theta^2}{2}+\cfrac{\theta^4}{24}+\dots\)
\((1+x)^n=1+nx+\cfrac{n(n−1)}{2}x^2+\cfrac{n(n−1)(n−2)}{6}x^3+\dots\)
Перейдем в систему отсчета вращающегося кольца. Будем рассматривать углы \(−\pi/2<\theta<\pi/2\). На рисунке 2 показаны силы, действующие на бусинку. Силами, не указанными на рисунке, можно пренебречь.
В пунктах с B.1 по B.9 считайте, что $k=0$.
B4
1.00
Пусть \(F_\theta\) — тангенциальная проекция суммы сил, действующих на бусинку. Можно определить соответствующую потенциальную энергию \(V(\theta)\) следующим образом: $$F_\theta = -\frac{1}{R}\frac{d}{d\theta}V(\theta),$$ причем примем \(V(\theta) = 0\) при \(\theta=0\).
\(V(\theta)\) представимо в виде \(V(\theta) = P+Q\cos(\theta)+S\sin^2(\theta)\). Выразите \(P,Q,S\).
B7
1.00
Теория Ландау фазовых переходов второго рода утверждает, что магнитную систему при температурах \(T\) выше критической температуры \(T_c\) можно считать парамагнитной, а при \(T < T_c\) — ферромагнитной. Зависимость намагниченности $\mathcal M$ от температуры $T$ задается формулой \(\mathcal{M}(T) = \mathcal{M}_0 \left(1 - \cfrac{T}{T_c}\right)^{1/2}\). Обозначим степень $1/2$ через $\beta$, т.е. пусть \(\mathcal{M}(T) = \mathcal{M}_0 \left(1 - \cfrac{T}{T_c}\right)^{\beta}\).
Можно сопоставить описанную теорию фазовых переходов с рассмотренной ранее механической задачей. Что в механике служит аналогом величин \(\mathcal{M}\), \(T_c\), \(T/T_c\)? Чему в механике равна \(\beta\)?
В оставшихся пунктах C.1 и C.2 считайте, что $k \ne 0$.