Pho.rs: Механическая модель фазовых переходов

A1 ^0.50 Запишите законы движения бусинки в проекциях на радиальное и тангенциальное направления. (Считаем, что $\theta$ возрастает в направлении против часовой стрелки).

B1 ^1.00 Выразите углы $\theta_0$, соответствующие положению(-ям) равновесия, через $\omega$ и $\omega_c$.

B2 ^0.50 Схематично изобразите график зависимости $\theta_0$ (по вертикальной оси) от $\omega/\omega_c$ (по горизонтальной).

B3 ^0.50 Схематично изобразите график зависимости модуля силы нормальной реакции опоры $N$ в положении устойчивого равновесия от $\omega/\omega_c$.

B4 ^1.00 Пусть $F_\theta$ --- тангенциальная проекция суммы сил, действующих на бусинку. Можно определить соответствующую потенциальную энергию $V(\theta)$ следующим образом, причём примем $V(\theta) = 0$ при $\theta=0$.

$V(\theta)$ представимо в виде $V(\theta) = P+Q\cos(\theta)+S\sin^2(\theta)$.

Выразите $P$, $Q$, $S$.

B5 ^1.00 $V(\theta)$ при малых $\theta$ представимо в виде $V(\theta) = a(\omega)\, \theta^2 + b(\omega)\, \theta^4$.

Выразите коэффициенты $a(\omega)$ и $b(\omega)$.

B6 ^1.00 Схематично изобразите характерные графики зависимости $V(\theta)$ от $\theta$ для двух значений $\omega/\omega_c$: $\omega/\omega_c = 0.9$ и $\omega/\omega_c = 5.0$. Количественные расчеты не требуются.

B7 ^1.00 Теория Ландау фазовых переходов второго рода утверждает, что магнитную систему при температурах $T$ выше критической температуры $T_c$ можно считать парамагнитной, а при $T < T_c$ — ферромагнитной. Зависимость намагниченности $\mathcal M$ от температуры $T$ задается формулой: \[\mathcal{M}(T) = \mathcal{M}_0 \left(1 - \cfrac{T}{T_c}\right)^{1/2}\quad\quad T < T_c.\]

Обозначим степень $1/2$ через $\beta$, т.е. пусть $\mathcal{M}(T) = \mathcal{M}_0 \left(1 - \cfrac{T}{T_c}\right)^{\beta}$.

Можно сопоставить описанную теорию фазовых переходов с рассмотренной ранее механической задачей. Что в механике служит аналогом величин $\mathcal{M}$, $T_c$, $T/T_c$? Чему в механике равна $\beta$?

B8 ^1.00 Выразите угловую частоту $\Omega_0$ колебаний бусинки вблизи ее положения равновесия $\theta_0$. Используйте, что для малых колебаний $\Omega_0 = \dfrac{1}{R} \sqrt{\dfrac{V''(\theta_0)}{m}}$.

B9 ^1.00 Схематично изобразите график зависимости $\Omega_0$ от $\omega$.

C1 ^1.00 Примите $f=1$, а вместо $k$ введите выражение $k = \operatorname{tg} \alpha$. Условие на положение(-я) равновесия $\theta_0$ можно переписать в виде: $ \left(\dfrac{\omega}{\omega_c}\right)^2 = \dfrac{\operatorname{tg} x}{\sin y}$.
Найдите $x$ и $y$.

C2 ^0.50

Пусть $f =1$ и $k = 0.05$.

Вычислите углы $\theta_0$ в положениях равновесия для двух случаев:

$\omega/\omega_c$ = 0.50,
$\omega/\omega_c$ = 0.70.

Механическая модель фазовых переходов

Решение