Logo
Logo

Шар и тележка

Разбалловка

A1  1,50 Какова минимально возможная длина $L_{min}$ тележки?

A1. 1 Определена скорость центра шара $v_0$ перед ударом:
$$v_0=\sqrt{2gh}{.}
$$
0,10
A1. 2 Определено изменение вертикальной компоненты скорости центра шара $|\Delta{v}_y|$ при упругом ударе:
$$|\Delta{v}_y|=2v_0{.}
$$
0,20
A1. 3 Определена горизонтальная компонента скорости центра шара $v_x$ сразу после первого удара:
$$v_x=\mu |\Delta{v}_y|{.}
$$
0,40
A1. 4 Определена скорости тележки $u_x$ сразу после первого удара:
$$u_x=-\cfrac{mv_x}{M}{.}
$$
0,20
A1. 5 Записано выражение для $L_{min}$:
$$L_{min}=(v_x-u_x)t_\text{пол}{.}
$$
0,20
A1. 6 Определено время полёта шара между соударениями:
$$t_\text{пол}=\cfrac{2v_0}{g}{.}
$$
0,20
A1. 7 Получена минимально возможная длины $L_{min}$ тележки (по $0{.}1$ балла за выражение и численное значение):
$$L_{min}=16\mu h\left(1+\cfrac{m}{M}\right)=2{.}8~\text{м}{.}
$$
2 × 0,10
A2  1,50 Какова минимально возможная начальная угловая скорость $\omega_{min}$ шара?

A2. 1 Записано условие отсутствия проскальзывания после первого удара:
$$\omega'R=v_x-u_x{.}
$$
0,40
A2. 2 Из основного уравнения динамики вращательного движения относительно центра масс шара получено:
$$I(\omega-\omega')=\Delta{p}_xR{.}
$$
0,40
A2. 3 Из уравнений динамики получена связь угловой скорости $\omega'$ с $v_x$:
$$\omega'=\omega-\cfrac{5v_x}{2R}{.}
$$
0,40
A2. 4 Получен ответ для $\omega_{min}$ (по $0{.}15$ балла за выражение и численное значение):
$$\omega_{min}=\cfrac{2\mu\sqrt{2gh}}{R}\left(\cfrac{7}{2}+\cfrac{m}{M}\right)=19{,}5~\text{рад}/\text{с}{.}
$$
2 × 0,15
A3  1,50 Определите потери механической энергии при первом и втором соударениях $\Delta{E}_1$ и $\Delta{E}_2$ соответственно.

A3. 1 Записано выражение для определения $\Delta{E}_1$:
$$\Delta{E}_1=\cfrac{I\omega^2_{min}}{2}-\cfrac{I\omega^2}{2}-\cfrac{mv^2_x}{2}-\cfrac{Mu^2_x}{2}{.}
$$
0,50
A3. 2 Получен ответ для $\Delta{E}_1$ (по $0{.}25$ балла за выражение и численное значение):
$$\Delta{E}_1=4\mu^2mgh\left(\cfrac{7}{2}+\cfrac{m}{M}\right)=156~\text{Дж}{.}
$$
2 × 0,25
A3. 3 Обоснованно получен ответ для $\Delta{E}_2$
$$\Delta{E}_2=0{.}
$$
0,50
A4  1,50 Найдите работы сил трения, действующих со стороны шара на тележку $A_{\text{шт}}$ и со стороны тележки на шар $A_{\text{тш}}$.

A4. 1 Указано, что работа силы трения, действующей со стороны шара на тележку, равна кинетической энергии тележки. 0,25
A4. 2 Получен ответ для $A_\text{шт}$ (по $0{.}25$ балла за выражение и численное значение):
$$A_\text{шт}=\cfrac{4\mu^2m^2gh}{M}=16~\text{Дж}{.}
$$
2 × 0,25
A4. 3 Указано, что работа силы трения, действующей со стороны тележки на шар, равна изменению кинетической энергии шара, либо записана формула:
$$A_\text{шт}+A_\text{тш}=-\Delta{E}_1{.}
$$
0,25
A4. 4 Получен ответ для $A_\text{тш}$ (по $0{.}25$ балла за выражение и численное значение):
$$A_\text{тш}=-4\mu^2mgh\left(\cfrac{7}{2}+\cfrac{2m}{M}\right)=-172~\text{Дж}{.}
$$
2 × 0,25
A5  1,00 Какую энергию поступательного движения $K_\text{ш}$ и $K_\text{т}$ за время соударения приобрело каждое из тел?

A5. 1 Получен ответ для $K_\text{т}$ (по $0{.}25$ балла за выражение и численное значение):
$$K_\text{т}=\cfrac{4\mu^2m^2gh}{M}=16~\text{Дж}{.}
$$
2 × 0,25
A5. 2 Получен ответ для $K_\text{ш}$ (по $0{.}25$ балла за выражение и численное значение):
$$K_\text{ш}=4\mu^2mgh=40~\text{Дж}{.}
$$
2 × 0,25