Прямо перед ударом скорость центра шара направлена вертикально вниз и равна:
$$v_0=\sqrt{2gh}{.}
$$Введём систему координат $xy$, где ось $x$ направлена вправо, а ось $y$ – вертикально вверх.
Поскольку удар упругий – перпендикулярные плоскости тележки компоненты скорости центра шара прямо перед соударением и сразу после него равны по модулю. Тогда изменение импульса шара в проекции на ось $y$ составляет:
$$\Delta{p}_y=2mv_0=2m\sqrt{2gh}=\int\limits_{0}^{\tau}Ndt{.}
$$Поскольку шар всегда проскальзывал по тележке – проекция на ось $x$ силы трения, действующей на шар, всегда равна $\mu N$. Таким образом, изменение импульса шара в проекции на ось $x$ составляет:
$$\Delta{p}_x=mv_x=\int\limits_{0}^{\tau}\mu Ndt=\mu\int\limits_{0}^{\tau}Ndt=\mu\Delta{p}_x=2\mu m\sqrt{2gh}\Rightarrow v_x=2\mu\sqrt{2gh}{.}
$$Поскольку трением качения можно пренебречь – для системы, состоящей из тележки и шара выполняется закон сохранения импульса в проекции на ось $x$:
$$mv_x+Mu_x=0\Rightarrow u_x=-\cfrac{mv_x}{M}{.}
$$Перейдём в систему отсчёта, связанную с тележкой, после соударения. В данной системе отсчёта сразу после соударения центр шара движется со скоростью, компоненты которой составляют:
$$v_{\text{отн}(y)}=v_y=\sqrt{2gh}\qquad v_{\text{отн}(x)}=v_x-u_x=v_x\left(1+\cfrac{m}{M}\right)=2\mu\sqrt{2gh}\left(1+\cfrac{m}{M}\right){.}
$$Длина $L$ тележки должна удовлетворять условию:
$$\cfrac{L}{2}\geq v_{\text{отн}(x)}t_\text{пол}{,}
$$где $t_\text{пол}$ – время полёта шара между соударениями, для которого имеем:
$$t_\text{пол}=\cfrac{2v_0}{g}{.}
$$Таким образом:
$$L_{min}=\cfrac{4v_{\text{отн}(x)}v_0}{g}{.}
$$Подставляя $v_{\text{отн}(x)}$, находим:
Пусть $\omega'$ – угловая скорость шара сразу после соударения. Поскольку шар проскальзывал по тележке в течение всего времени соударения – величина $\omega'$ должна быть такой, что проекция на ось $x$ скорости тележки всегда должна быть не меньше соответствующей проекции скорости точки шара, в которой он касается тележки:
$$v_x-\omega' R\operatorname{<}u_x\Rightarrow \omega'\geq\cfrac{v_x}{R}\left(1+\cfrac{m}{M}\right){.}
$$Запишем уравнение динамики вращательного движения относительно центра масс шара:
$$I\dot\omega=-F_{\text{тр}(x)}R\Rightarrow I(\omega-\omega')=\cfrac{2mR^2(\omega-\omega')}{5}=\int\limits_{0}^{\tau}\mu NRdt=R\Delta{p}_x=mv_xR{,}
$$откуда:
$$\omega'=\omega-\cfrac{5v_x}{2R}\Rightarrow \omega\geq \cfrac{v_x}{R}\left(\cfrac{7}{2}+\cfrac{m}{M}\right){.}
$$Минимальная угловая скорость достигается при знаке равенства и составляет:
Из закона сохранения механической энергии получим:
$$\cfrac{mv^2_{y(0)}}{2}+\cfrac{I\omega^2_{min}}{2}=\cfrac{mv^2_x}{2}+\cfrac{mv^2_y}{2}+\cfrac{I\omega^2_y}{2}+\cfrac{Mu^2_x}{2}+\Delta{E}_1{.}
$$При ударе квадрат вертикальной компоненты сохраняется, поэтому:
$$\Delta{E}_1=\cfrac{I\omega^2_{min}}{2}-\cfrac{I\omega^2}{2}-\cfrac{mv^2_x}{2}-\cfrac{Mu^2_x}{2}{.}
$$Подставляя полученные ранее величины, находим:
Поскольку при втором ударе проскальзывания нет – потери энергии равны нулю, поскольку удар является упругим.
Из теоремы об изменении кинетической энергии:
$$A_\text{шт}=K_\text{т}=\cfrac{Mu^2_x}{2}{.}
$$Таким образом:
Из теоремы об изменении кинетической энергии для шара:
$$A_\text{тш}=K_\text{ш}-K_{\text{ш}(0)}=\cfrac{I\omega^2}{2}+\cfrac{m^2v^2_x}{2}-\cfrac{I\omega^2_{min}}{2}{.}
$$Также последнее соотношение можно получить из суммарной работы внутренних сил:
$$A_\text{шт}+A_\text{тш}=-\Delta{E}_1=\cfrac{I\omega^2}{2}+\cfrac{mv^2_x}{2}+\cfrac{Mu^2_x}{2}-\cfrac{I\omega^2_{min}}{2}{.}
$$Таким образом:
Поскольку тележка не вращается – её кинетическая энергия равна энергии поступательного движения, поэтому:
За время соударения кинетическая энергия поступательного движения шара изменяется на величину:
$$K_\text{ш}=\cfrac{mv^2_x}{2}{,}
$$откуда: