Logo
Logo

Шар и тележка

A1  1,50 Какова минимально возможная длина $L_{min}$ тележки?

Прямо перед ударом скорость центра шара направлена вертикально вниз и равна:
$$v_0=\sqrt{2gh}{.}
$$
Введём систему координат $xy$, где ось $x$ направлена вправо, а ось $y$ — вертикально вверх.
Поскольку удар упругий — перпендикулярные плоскости тележки компоненты скорости центра шара прямо перед соударением и сразу после него равны по модулю. Тогда изменение импульса шара в проекции на ось $y$ составляет:
$$\Delta{p}_y=2mv_0=2m\sqrt{2gh}=\int\limits_{0}^{\tau}Ndt{.}
$$
Поскольку шар всегда проскальзывал по тележке — проекция на ось $x$ силы трения, действующей на шар, всегда равна $\mu N$. Таким образом, изменение импульса шара в проекции на ось $x$ составляет:
$$\Delta{p}_x=mv_x=\int\limits_{0}^{\tau}\mu Ndt=\mu\int\limits_{0}^{\tau}Ndt=\mu\Delta{p}_x=2\mu m\sqrt{2gh}\Rightarrow v_x=2\mu\sqrt{2gh}{.}
$$
Поскольку трением качения можно пренебречь — для системы, состоящей из тележки и шара выполняется закон сохранения импульса в проекции на ось $x$:
$$mv_x+Mu_x=0\Rightarrow u_x=-\cfrac{mv_x}{M}{.}
$$
Перейдём в систему отсчёта, связанную с тележкой, после соударения. В данной системе отсчёта сразу после соударения центр шара движется со скоростью, компоненты которой составляют:
$$v_{\text{отн}(y)}=v_y=\sqrt{2gh}\qquad v_{\text{отн}(x)}=v_x-u_x=v_x\left(1+\cfrac{m}{M}\right)=2\mu\sqrt{2gh}\left(1+\cfrac{m}{M}\right){.}
$$
Длина $L$ тележки должна удовлетворять условию:
$$\cfrac{L}{2}\geq v_{\text{отн}(x)}t_\text{пол}{,}
$$
где $t_\text{пол}$ — время полёта шара между соударениями, для которого имеем:
$$t_\text{пол}=\cfrac{2v_0}{g}{.}
$$
Таким образом:
$$L_{min}=\cfrac{4v_{\text{отн}(x)}v_0}{g}{.}
$$
Подставляя $v_{\text{отн}(x)}$, находим:

Ответ: $$L_{min}=16\mu h\left(1+\cfrac{m}{M}\right)=2{.}8~\text{м}{.}
$$

A2  1,50 Какова минимально возможная начальная угловая скорость $\omega_{min}$ шара?

Пусть $\omega'$ — угловая скорость шара сразу после соударения. Поскольку шар проскальзывал по тележке в течение всего времени соударения — величина $\omega'$ должна быть такой, что проекция на ось $x$ скорости тележки всегда должна быть не меньше соответствующей проекции скорости точки шара, в которой он касается тележки:
$$v_x-\omega' R\operatorname{<}u_x\Rightarrow \omega'\geq\cfrac{v_x}{R}\left(1+\cfrac{m}{M}\right){.}
$$
Запишем уравнение динамики вращательного движения относительно центра масс шара:
$$I\dot\omega=-F_{\text{тр}(x)}R\Rightarrow I(\omega-\omega')=\cfrac{2mR^2(\omega-\omega')}{5}=\int\limits_{0}^{\tau}\mu NRdt=R\Delta{p}_x=mv_xR{,}
$$
откуда:
$$\omega'=\omega-\cfrac{5v_x}{2R}\Rightarrow \omega\geq \cfrac{v_x}{R}\left(\cfrac{7}{2}+\cfrac{m}{M}\right){.}
$$
Минимальная угловая скорость достигается при знаке равенства и составляет:

Ответ: $$\omega_{min}=\cfrac{2\mu\sqrt{2gh}}{R}\left(\cfrac{7}{2}+\cfrac{m}{M}\right)=19{.}5~\text{рад}/\text{с}{.}
$$

A3  1,50 Определите потери механической энергии при первом и втором соударениях $\Delta{E}_1$ и $\Delta{E}_2$ соответственно.

Из закона сохранения механической энергии получим:
$$\cfrac{mv^2_{y(0)}}{2}+\cfrac{I\omega^2_{min}}{2}=\cfrac{mv^2_x}{2}+\cfrac{mv^2_y}{2}+\cfrac{I\omega^2_y}{2}+\cfrac{Mu^2_x}{2}+\Delta{E}_1{.}
$$
При ударе квадрат вертикальной компоненты сохраняется, поэтому:
$$\Delta{E}_1=\cfrac{I\omega^2_{min}}{2}-\cfrac{I\omega^2}{2}-\cfrac{mv^2_x}{2}-\cfrac{Mu^2_x}{2}{.}
$$
Подставляя полученные ранее величины, находим:

Ответ: $$\Delta{E}_1=4\mu^2mgh\left(\cfrac{2}{5}\left(\cfrac{7}{2}+\cfrac{m}{M}\right)^2-\cfrac{2}{5}\left(1+\cfrac{m}{M}\right)^2-1-\cfrac{m}{M}\right)=4\mu^2mgh\left(\cfrac{7}{2}+\cfrac{m}{M}\right)=156~\text{Дж}{.}
$$

Поскольку при втором ударе проскальзывания нет — потери энергии равны нулю, поскольку удар является упругим.

Ответ: $$\Delta{E}_2=0{.}
$$

A4  1,50 Найдите работы сил трения, действующих со стороны шара на тележку $A_{\text{шт}}$ и со стороны тележки на шар $A_{\text{тш}}$.

Из теоремы об изменении кинетической энергии:
$$A_\text{шт}=K_\text{т}=\cfrac{Mu^2_x}{2}{.}
$$
Таким образом:

Ответ: $$A_\text{шт}=\cfrac{4\mu^2m^2gh}{M}=16~\text{Дж}{.}
$$

Из теоремы об изменении кинетической энергии для шара:
$$A_\text{тш}=K_\text{ш}-K_{\text{ш}(0)}=\cfrac{I\omega^2}{2}+\cfrac{m^2v^2_x}{2}-\cfrac{I\omega^2_{min}}{2}{.}
$$
Также последнее соотношение можно получить из суммарной работы внутренних сил:
$$A_\text{шт}+A_\text{тш}=-\Delta{E}_1=\cfrac{I\omega^2}{2}+\cfrac{mv^2_x}{2}+\cfrac{Mu^2_x}{2}-\cfrac{I\omega^2_{min}}{2}{.}
$$
Таким образом:

Ответ: $$A_\text{тш}=-4\mu^2mgh\left(\cfrac{7}{2}+\cfrac{2m}{M}\right)=-172~\text{Дж}{.}
$$

A5  1,00 Какую энергию поступательного движения $K_\text{ш}$ и $K_\text{т}$ за время соударения приобрело каждое из тел?

Поскольку тележка не вращается — её кинетическая энергия равна энергии поступательного движения, поэтому:

Ответ: $$K_\text{т}=\cfrac{4\mu^2m^2gh}{M}=16~\text{Дж}{.}
$$

За время соударения кинетическая энергия поступательного движения шара изменяется на величину:
$$K_\text{ш}=\cfrac{mv^2_x}{2}{,}
$$
откуда:

Ответ: $$K_\text{ш}=4\mu^2mgh=40~\text{Дж}{.}
$$