A1  ^0.50 Скорость \(v_z\) атомов серебра, испущенных из печи, может быть оценена как \(\sqrt{3 k_B T/m}\). Вычислите значение скорости.

A1. 1 525.5 м/с

0.50

B1  ^2.00 После испускания из печи атомы серебра проходят расстояние \(l_{1}=0.25\)~м вдоль оси \(z\). После этого атомы серебра проходят расстояние \(l_{2}=0.5\)~м между двумя магнитами. Магниты создают неоднородное магнитное поле \(B\) вдоль оси \(x\) с постоянным градиентом \(dB/dx\). Считайте, что магнитный момент атомов серебра направлен либо в направлении \(+x\), либо в направлении \(-x\), т.е. \(\vec{\mu_s}=\pm\mu_s\hat{\imath}\). После прохождения через магниты атомы серебра проходят расстояние \(l_{3}=0.25\)~м перед попаданием на экран \(PP'\). Расстояние между двумя местами попаданий на экране \(\Delta x\). Получение выражение для расстояния \(\Delta x\).

B1. 1 $a = \frac{\mu_s}{m} \frac{dB}{dx}$	0.40
B1. 2 $\delta_1 = \frac{1}{2} \frac{\mu_s}{m} \frac{dB}{dx} \frac{l_2^2}{v_z^2}$	0.60
B1. 3 $\delta_2 = l_3 l_2 \frac{\mu_s}{m v_z^2} \frac{dB}{dx}$	0.40
B1. 4 $\Delta x = 2 \frac{\mu_s}{m} \frac{dB}{dx} \frac{l_2}{v_z^2} \left( \frac{l_2}{2}+l_3 \right) $	0.60
B1. 5 Штраф за потерю 2	-0.30

C1  ^1.50 Получите выражение для вектора индукции магнитного поля в точке \(P_1\, (x,y,0)\) в плоскости \(x\)-\(y\) (рис. 2).

C1. 1 Поле одного провода: $\vec{B}_1(x,y)=\frac{\mu I_0}{2 \pi} \frac{\hat{k} \times (x \hat{i} + (y-a)\hat{j})}{r_1^2} $	0.40
C1. 2 Поле другого провода: $\vec{B}_2(x,y)=- \frac{\mu I_0}{2 \pi} \frac{\hat{k} \times (x \hat{i} + (y+a)\hat{j})}{r_2^2} $	0.40
C1. 3 Ответ: $\vec{B}(x,y)=\frac{\mu I_0 a}{\pi r_1^2 r_2^2} \left[ 2xy \hat{j} + (x^2-y^2+a^2)\hat{i} \right]$	0.70
C1. 4 Если не собраны все слагаемые по компонентам	-0.10
C1. 5 Если ошибка при упрощении ответа	-0.10

C2  ^0.50 Рассмотрим окружность с центром \(C\) на оси \(x\) (\(x_c,0\)) с радиусом равным длине отрезка \(A_1C\) (рис. 2). Определите направление вектора индукции магнитного поля в точках \(R\) (на оси \(x\)) и \(P_0\) (\(CP_0\) параллельна оси \(y\)).

C2. 1 $\vec{B}(x,0) \propto \hat{i} $	0.20
C2. 2 $\vec{B}(x_c , (x_c^2+a^2)^{1/2}) \propto \hat{j} $	0.30

C3  ^0.50 Теперь рассмотрим случай, когда часть материала с высокой магнитной проницаемостью между окружностями радиусами $A_1C$ и $A_1D$ была удалена и заменена воздухом под низким давлением (рис. 2). Из непрерывности можно показать, что магнитное поле в этом зазоре описывается тем же выражением, что и в случае, когда вещество присутствует (мы используем данный факт без доказательства и вам его доказывать не требуется). Получите выражение для вектора индукции магнитного поля в точке \((x, 0)\) в области с воздухом.

C3. 1 $\vec{B} = \frac{\mu I_0 a}{\pi (x^2 + a^2)}\hat{i}$

0.50

D1  ^0.50 Как указано выше, атомы серебра движутся в плоскости \((x,0,z)\) вдоль оси $z$ с начальной скоростью \(\vec{v}\,=\,v_z\hat{k}\). Магнитный момент атомов серебра \(\vec{\mu}_s=\pm\mu_s\hat{\imath}\). Получите выражение для модуля силы \(F_x\), действующей на атомы серебра в направлении оси \(x\). Выразите ответ через \(\mu_s, I_0, a, \mu\) и соответствующие координаты.

D1. 1 $F_x = \mu_s \frac{\partial B_x}{\partial x} = \frac{\mu_s \mu I_0}{\pi} \times \frac{2ax}{(x^2+a^2)^2}$

0.50

E1  ^2.00 Мы считаем, что такая сила \(F_x\) действует на всем отрезке длиной \(l_2\) оси \(z\) (рис. 1). Также считаем, что атомы серебра проходят через среднюю точку \(P\) отрезка \(RQ\) (рис. 2). Следующие величины считайте заданными: \( \frac{\mu}{\mu_0} = 10^4;\) \(a=0.60\)~см; \(OC=0.60\)~см; \(OD=0.80\); \(I_0=2.00\)~А. Здесь \(\mu_0\) — магнитная постоянная. Получите численные значения для величин магнитного поля \(B_P\) и его градиента \(dB_P/dx\) в средней точке. Ответ выразите в единицах СИ.

E1. 1 $x_P = 1.624 \times 10^{-2}$ м	0.50
E1. 2 $B_x(x_P,0) = 0.16$ Тл	1.00
E1. 3 $\left( \frac{\partial B_x}{ \partial x} \right)_ {x_P} = 17.34$ Тл/м	0.50

F1  ^1.50 В опыте Штерна-Герлаха было получено значение \(\Delta x\) = 0.20~см, если скорость атомов серебра была равна \(v_z = 5.00 \times 10^2\)~м/с. Получите значение магнитного момента \(\mu_s\) атомов серебра в единицах СИ.

F1. 1 $\mu_s = \frac{m \Delta x}{2 \left( \frac{\partial B_x}{ \partial x} \right)_ {x_P}} \times \frac{1}{\left[ \frac{l_2}{v_z^2} \left( \frac{l_2}{2} + l_3 \right) \right]}$	0.50
F1. 2 $\mu_s = 1.04 \times 10^{-23}$ Дж/Тл	1.00

G1  ^0.50 Не все атомы серебра имеют одинаковую скорость. Пусть ширина интервала скоростей составляет 20 \%. Какой будет ширина \(\delta x\) каждой из линий на экране?

G1. 1 $\delta (\Delta x/2) = 2 (\Delta x/2) \frac{\delta v_z}{v_z} = 0.04$ см	0.30
G1. 2 Hence the spread in the line from the centre is 0.1 - 0.04 = 0.06 cm to 0.1 + 0.04 = 0.14 cm. 1. Credit will also be given if 20% is interpreted as 10% on each side 2. Answer reported in terms of percentages receive full credit	0.20

H1  ^0.50 Какой вследствие этого будет погрешность \(\delta \mu_s\) определения значения магнитного момента?

H1. 1 Полный разброс $0.84 \times 10^{-23}$ Дж/Тл	0.30
H1. 2 $\mu_s = (1.04 \pm 0.42) \times 10^{-23}$ Дж/Тл	0.20