A1  ^0.50 Скорость \(v_z\) атомов серебра, испущенных из печи, может быть оценена как \(\sqrt{3 k_B T/m}\). Вычислите значение скорости.

B1  ^2.00 После испускания из печи атомы серебра проходят расстояние \(l_{1}=0.25\)~м вдоль оси \(z\). После этого атомы серебра проходят расстояние \(l_{2}=0.5\)~м между двумя магнитами. Магниты создают неоднородное магнитное поле \(B\) вдоль оси \(x\) с постоянным градиентом \(dB/dx\). Считайте, что магнитный момент атомов серебра направлен либо в направлении \(+x\), либо в направлении \(-x\), т.е. \(\vec{\mu_s}=\pm\mu_s\hat{\imath}\). После прохождения через магниты атомы серебра проходят расстояние \(l_{3}=0.25\)~м перед попаданием на экран \(PP'\). Расстояние между двумя местами попаданий на экране \(\Delta x\). Получение выражение для расстояния \(\Delta x\).

Величина ускорения $a$ атомов серебра в области, длиной $l_2$, равна
$$a = \frac{\mu_s}{m} \frac{dB}{dx}.$$

Проекция скорости на горизонтальное направление постоянная и равна $v_z$. Расстояние $l_2$ проходится за время $l_2/v_z$. После прохождения области неоднородного магнитного поля отклонение составит
$$\delta_1 = \frac{1}{2} \frac{\mu_s}{m} \frac{dB}{dx} \frac{l_2^2}{v_z^2}.$$

На последнем участке атом движется с постоянной скоростью, горизонтальная проекция равна $v_z$, вертикальная проекция скорости $v_{x0} = (\frac{\mu_s}{m} \frac{dB}{dx}) (\frac{l_2}{v_z}).$ Отклонение на этом последнем участке:
$$\delta_2 = l_3 \frac{v_{x0}}{v_z} = l_3 l_2 \frac{\mu_s}{m v_z^2} \frac{dB}{dx}.$$

Полное отклонение $\delta_1+\delta_2$. Расстояние между линиями на экране $2 (\delta_1+\delta_2)$.
Отсюда получается овтет.

C1  ^1.50 Получите выражение для вектора индукции магнитного поля в точке \(P_1\, (x,y,0)\) в плоскости \(x\)-\(y\) (рис. 2).

Поле одного провода:
$$\vec{B}_1(x,y)=\frac{\mu I_0}{2 \pi} \frac{\hat{k} \times (x \hat{i} + (y-a)\hat{j})}{r_1^2} .$$

Поле другого провода:
$$\vec{B}_2(x,y)=- \frac{\mu I_0}{2 \pi} \frac{\hat{k} \times (x \hat{i} + (y+a)\hat{j})}{r_2^2} .$$

Суммарное поле находим как векторную сумму:
$$\vec{B}(x,y) = \vec{B}_1(x,y) + \vec{B}_2(x,y)$$

C2  ^0.50 Рассмотрим окружность с центром \(C\) на оси \(x\) (\(x_c,0\)) с радиусом равным длине отрезка \(A_1C\) (рис. 2). Определите направление вектора индукции магнитного поля в точках \(R\) (на оси \(x\)) и \(P_0\) (\(CP_0\) параллельна оси \(y\)).

Поле в точке $R(x_c+\sqrt{x_c^2+a^2},0)$ находим подстановкой $y=0$. Получаем что компонента $\hat{j}$ равна нулю. Поэтому, $\vec{B}(x,0) \propto \hat{i} $.

Поле в точке $P_0(x_c, \sqrt{x_c^2+a^2})$ находим подстановкой координат в ответ C1. Получаем что компонента $\hat{i}$ равна нулю. Поэтому, $\vec{B}(x_c , (x_c^2+a^2)^{1/2}) \propto \hat{j} $

C3  ^0.50 Теперь рассмотрим случай, когда часть материала с высокой магнитной проницаемостью между окружностями радиусами $A_1C$ и $A_1D$ была удалена и заменена воздухом под низким давлением (рис. 2). Из непрерывности можно показать, что магнитное поле в этом зазоре описывается тем же выражением, что и в случае, когда вещество присутствует (мы используем данный факт без доказательства и вам его доказывать не требуется). Получите выражение для вектора индукции магнитного поля в точке \((x, 0)\) в области с воздухом.

Поле в зазоре описывается тем же выражением, что и в вопросе C1 при подстановке $y=0$.

D1  ^0.50 Как указано выше, атомы серебра движутся в плоскости \((x,0,z)\) вдоль оси $z$ с начальной скоростью \(\vec{v}\,=\,v_z\hat{k}\). Магнитный момент атомов серебра \(\vec{\mu}_s=\pm\mu_s\hat{\imath}\). Получите выражение для модуля силы \(F_x\), действующей на атомы серебра в направлении оси \(x\). Выразите ответ через \(\mu_s, I_0, a, \mu\) и соответствующие координаты.

Сила на магнитный диполь
$$F_x = \mu_s \frac{dB_x}{dx}.$$

E1  ^2.00 Мы считаем, что такая сила \(F_x\) действует на всем отрезке длиной \(l_2\) оси \(z\) (рис. 1). Также считаем, что атомы серебра проходят через среднюю точку \(P\) отрезка \(RQ\) (рис. 2). Следующие величины считайте заданными: \( \frac{\mu}{\mu_0} = 10^4;\) \(a=0.60\)~см; \(OC=0.60\)~см; \(OD=0.80\); \(I_0=2.00\)~А. Здесь \(\mu_0\) — магнитная постоянная. Получите численные значения для величин магнитного поля \(B_P\) и его градиента \(dB_P/dx\) в средней точке. Ответ выразите в единицах СИ.

Координата точки $P$:
$$y=0,$$
$$x_P = 1.624 \times 10^{-2} \text{ м}.$$

Магнитное поле:
$$B_x (x_P, 0) = \frac{\mu}{\mu_0} \frac{\mu_0 I_0 a}{\pi (x^2 + a^2)}.$$

Градиент магнитного поля:
$$\left( \frac{\partial B_x}{ \partial x} \right)_ {x_P} = \frac{2x}{(x^2+a^2)} \times B_x(x_P,0).$$

F1  ^1.50 В опыте Штерна-Герлаха было получено значение \(\Delta x\) = 0.20~см, если скорость атомов серебра была равна \(v_z = 5.00 \times 10^2\)~м/с. Получите значение магнитного момента \(\mu_s\) атомов серебра в единицах СИ.

Выразим магнитный момент $\mu_s$ из выражения:
$$\Delta x = 2 \frac{\mu_s}{m} \frac{dB}{dx} \frac{l_2}{v_z^2} \left( \frac{l_2}{2} + l_3 \right).$$

G1  ^0.50 Не все атомы серебра имеют одинаковую скорость. Пусть ширина интервала скоростей составляет 20 \%. Какой будет ширина \(\delta x\) каждой из линий на экране?

Из формулы B1, так как зависимость от скорости $v_z$ квадратичная, получаем:
$$\frac{\delta (\Delta x) }{\Delta x} = 2 \frac{\delta v_z }{v_z}.$$

Ширина линии на экране будет равна половине расстояния между линиями.

H1  ^0.50 Какой вследствие этого будет погрешность \(\delta \mu_s\) определения значения магнитного момента?

Из прошлого пункта разброс в расстоянии между линиями от 0.16 см до 0.24 см. Когда разброса не было, расстояние было 0.2 см. Связь между расстоянием и магнитным моментом линейная. Погрешность расстояния 20%. Погрешность магнитного момента тоже 20%.