Период колебаний математического маятника определяется по формуле \begin{equation} T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}, \end{equation} где $g$ – ускорение свободного падения в данный момент времени суток. Различие в периодах колебаний маятника в полдень и полночь обусловлено влиянием Солнца: гравитационным притяжением и центробежной силой, обусловленной движением Земли вокруг Солнца. Используя формулу для периода колебаний маятника, относительное изменение периода можно представить в виде: \begin{equation} \varepsilon =\frac{T_2-T_1}{T_1}=\sqrt{\frac{g_1}{g_2}}-1, \end{equation} где $g_1,g_2$ – ускорения свободного падения в полдень и полночь, соответственно. Направления вращения Земли вокруг собственной оси и вокруг Солнца совпадают, как показано на рисунке 1. Направления действия гравитационных и центробежных сил в полдень и полночь оказываются различными, как показано на рисунке 2.
На рисунке 2: $mg_0$ – сила гравитационного притяжения к Земле; $F_1$ – центробежная сила, обусловленная вращением Земли вокруг собственной оси; $F_2$ – сила гравитационного притяжения к Солнцу; $F_3$ – центробежная сила, обусловленная движением Земли вокруг Солнца. Тогда ускорения свободного падения с учетом влияния Солнца будет определяться выражениями: В полдень: \begin{equation} g_1=g_0-{\omega }^2_1r_1-G\frac{M}{{\left(r_2-r_1\right)}^2}+{\omega }^2_2r_2. \end{equation} В полночь: \begin{equation} g_2=g_0-{\omega }^2_1r_1+G\frac{M}{{\left(r_2+r_1\right)}^2}-{\omega }^2_2r_2. \end{equation} В этих формулах $M$ – масса Солнца, $G$ – гравитационная постоянная. Для упрощения полученных выражений используем уравнение, описывающее движение Земли вокруг Солнца: \begin{equation} G\frac{M}{r^2_2}={\omega }^2_2r_2. \end{equation} С учетом этого соотношения, разность ускорений представляется в виде \begin{equation} \Delta g=g_1-g_2={\omega }^2_2r_2\left(2-{\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)}^{-2}-{\left(1+\frac{r_1}{r_2}\right)}^{-2}\right). \end{equation} Заметим, что в данном случае для того, чтобы получить не нулевой результат в разложении степенных функций, необходимо учитывать и квадратичное слагаемое (т.е. $\left(1+x\right)^{-2} \approx 1-2x+3x^{2} $): \begin{equation} \Delta g={-6\omega }^2_2r_2{\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2. \end{equation} Таким образом, относительное изменение периода колебаний, обусловленное влиянием Солнца, оказывается равным \begin{equation} \varepsilon \approx \frac{\Delta g}{2g_2}\approx \frac{\Delta g}{2g_0}, \end{equation} откуда получаем окончательный ответ