Как известно, ветра и океанические течения служат известными примерами источников возобновляемой энергии. Если в первом случае ветроэнергетика продвинулась уже достаточно далеко, то с использованием океанических течений как источников энергии человечеству ещё придётся разобраться на практике. К примеру, в Японии, которую окружают крупные течения, такие как течение Куросио, разработки в области морской энергетики только начали своё развитие. В этой задаче мы попробуем выяснить, какое максимальное количество энергии можно получить с помощью использования течений. Воду всюду будем считать идеальной жидкостью, а влиянием гравитации пренебрежём.

Часть A. Основы (1.5 балла)

В этой части задачи мы рассмотрим стационарное течение воды в расширяющейся трубе, показанной на рисунке 1. Труба имеет круговое поперечное сечение площадью $S_1$ при $x < x_1$ и $S_2$ при $x > x_2$. Всюду, кроме области $x_1 < x < x_2$, линии тока направлены параллельно оси $x$. Скорость течения при $x < x_1$ равна $v_1$, а при $x > x_2$ – $v_2$. Массовый расход воды в трубе обозначим $J$.

Так как массовый расход – это постоянная величина, то при движении по трубе удельные импульс и кинетическая энергия воды будут изменяться.

Пусть внешняя сила $F$ действует на жидкость горизонтально вправо, и жидкость переходит из $AB$ в $A'B'$ за время $\Delta t$. Изменение импульса воды за это время обозначим $\Delta p$, изменение её кинетической энергии – $\Delta K$.

A1  ^0.30 Выразите $\Delta p$ через $J$, $v_1$, $v_2$ и $\Delta t$.

A2  ^0.20 Выразите внешнюю силу $F$, действующую на жидкость, через $\Delta p$ и $\Delta t$.

A3  ^0.50 Выразите $\Delta K$ через $J$, $v_1$, $v_2$ и $\Delta t$.

Пусть теперь на поток справа действует давление $P_0$, а слева – давление $P_A$ такое, что скорость воды при $x < x_1$ равна $v_1$. Рассмотрим поведение воды в усечённом конусе $x_1 < x < x_2$. На рисунке 2 сила, действующая на воду со стороны боковой поверхности, обозначена как $\vec F_3$. Будучи усреднённой по всей боковой поверхности, она превращается в горизонтально направленную силу, которую мы обозначим $F_\mathrm s$. Вместе с ней силы давления $\vec F_1$ и $\vec F_2$ являются причиной изменения удельного импульса воды.

A4  ^0.50 Выразите $F_\mathrm s$ через $P_0$, $P_A$, $S_1$, $S_2$ и $\Delta p$, $\Delta t$.

Часть B. Закон Беца (4.5 балла)

В этой части задачи мы исследуем возможности выработки электроэнергии путём установки турбины в морском течении, невозмущённая скорость которого равна $v_1$. В области $x_1 < x < x_2$ (см. рис. 3) течение является турбулентным и передаёт энергию турбине, возвращаясь к ламинарному со скоростью $v_2\ (v_2 < v_1)$. Течение можно считать стационарным, а плотность воды $\rho$ – всюду постоянной. Обозначим площадь поперечного сечения турбины как $S_t$, а массовый расход проходящей через неё воды – как $J_t$. Ясно, что\[J_t=\rho v_tS_t,\]где $v_t$ – средняя скорость воды при прохождении через турбину. Площадь поперечного сечения входящего в турбину потока обозначим как $S_1$, выходящего – как $S_2$.

Как и в части $\bf A$, жидкость переходит из $AB$ в $A'B'$ за время $\Delta t$, а изменения импульса и кинетической энергии воды за это время равны соответственно $\Delta p$ и $\Delta K$.

B1  ^0.50 Выразите $\Delta p$ через $J_t$, $v_1$, $v_2$ и $\Delta t$.

B2  ^0.50 Выразите $\Delta K$ через $J_t$, $v_1$, $S_1$, $S_2$ и $\Delta t$. На основе этого результата объясните, почему площадь поперечного сечения потока после прохождения турбины увеличивается, как показано на рисунке 3.

B3  ^0.50 Выразите силу $F_t$, с которой турбина действует на проходящую через неё воду, через $v_1$, $v_2$ и $J_t$.

С одной стороны, мощность $\mathcal P_t$, вырабатываемую турбиной, можно найти как произведение силы $F_t$ на среднюю скорость воды $v_t$ при прохождении турбины, а с другой стороны, как изменение кинетической энергии воды, проходящей через турбину в единицу времени, взятое в противоположным знаком, $-\frac{\Delta K}{\Delta t}$. Приравняв эти два выражения, можно получить уравнение, связывающее среднюю скорость воды $v_t$ с $v_1$ и $v_2$.

B4  ^0.50 Найдите $v_t$.

Обозначим кинетическую энергию, проходящую в единицу времени через поперечное сечение площадью $S_t$ в отсутствие турбины, как $\mathcal P_0$. Тогда для определения эффективности турбины естественно ввести КПД по формуле:\[\eta=\frac{\mathcal P_t}{\mathcal P_0}.\]

B5  ^0.50 Используя результат пункта $\bf B4$, получите выражение для $\mathcal P_t$.

B6  ^0.50 Выразите $\mathcal P_0$ через $\rho$, $v_1$ и $S_t$.

B7  ^1.00 Выразите КПД турбины $\eta$ через $r=\frac{v_2}{v_1}$. Нарисуйте график $\eta(r)$ в диапазоне $r\in[0,1]$.

B8  ^0.50 Найдите максимальный КПД турбины $\eta_\max$ и значение $r$, при котором $\eta_\max$ достигается.

Полученный в этой части закон $\eta(r)$ называется $\itзаконом$ $\itБеца$, а мощность $\eta_\max\mathcal P_0$ является максимальной мощностью, которую можно получить с помощью турбины от потока жидкости или газа.

Часть C. Течение Куросио (1.0 балл)

Самое большое течение у берегов Японии – это течение Куросио, которое начинается от южной части острова Сикоку и заканчивается у южной части полуострова Кии. Ширина течения Куросио составляет $100\ км$, глубина – $400\ м$, а скорость – в среднем $3\ \cfrac{уз.}ч\ (1\ узел=1.852\ км)$.

C1  ^0.50 Оцените, какая кинетическая энергия $\mathcal P_0$ проходит через поперечное сечение течения в единицу времени.

Предполагается, что около $\cfrac1{100}$ общей площади поперечного сечения Куросио можно использовать для выработки электроэнергии.

C2  ^0.50 Оцените верхний предел возможной мощности $\mathcal P_t$ электроэнергии, вырабатываемой за счёт течения.