Pho.rs: Возобновляемая электроэнергия

A1 ^0.30 Выразите $\Delta p$ через $J$, $v_1$, $v_2$ и $\Delta t$.

Изменение импульса воды за время $\Delta t$ равно разности импульса $Jv_2\Delta t$ в области $BB'$ и импульса $Jv_1\Delta t$ в области $AA'$. $\implies$

Ответ: \[\Delta p=J(v_2-v_1)\Delta t\]

A2 ^0.20 Выразите внешнюю силу $F$, действующую на жидкость, через $\Delta p$ и $\Delta t$.

Поскольку изменение импульса равно $\Delta p=F\Delta t$, $\implies$

Ответ: \[F=\frac{\Delta p}{\Delta t}\]

A3 ^0.50 Выразите $\Delta K$ через $J$, $v_1$, $v_2$ и $\Delta t$.

Как и в A1, изменение кинетической энергии воды за время $\Delta t$ равно разности кинетической энергии $Jv_2^2\Delta t/2$ в области $BB'$ и кинетической энергии $Jv_1^2\Delta t/2$ в области $AA'$. $\implies$

Ответ: \[\Delta K=\frac12J\left(v_2^2-v_1^2\right)\Delta t\]

A4 ^0.50 Выразите $F_\mathrm s$ через $P_0$, $P_A$, $S_1$, $S_2$ и $\Delta p$, $\Delta t$.

Внешняя сила, действующая на воды, равна $F=(P_AS_1-P_0S_2)+F_\mathrm s$ (направление направо выбрано как положительное). Поскольку внешняя сила была найдена в A2, $\implies$

Ответ: \[F_\mathrm s=-(P_AS_1-P_0S_2)+\frac{\Delta p}{\Delta t}\]

B1 ^0.50 Выразите $\Delta p$ через $J_t$, $v_1$, $v_2$ и $\Delta t$.

Аналогично A1, $\implies$

Ответ: \[\Delta p=J_t(v_2-v_1)\Delta t\]

B2 ^0.50 Выразите $\Delta K$ через $J_t$, $v_1$, $S_1$, $S_2$ и $\Delta t$. На основе этого результата объясните, почему площадь поперечного сечения потока после прохождения турбины увеличивается, как показано на рисунке 3.

Из уравнения неразрывности $v_1S_1=v_2S_2$. Далее, аналогично A2, получаем:\[\Delta K=\frac{1}{2} J_{\mathrm{t}}\left(v_2^2-v_1^2\right) \Delta t=\frac{1}{2} J_{\mathrm{t}}\left[\left(\frac{S_1}{S_2}\right)^2-1\right] v_1^2 \Delta t.\]Поскольку в результате передачи кинетической энергии турбине должно быть $\Delta K < 0$, имеем $S_1 < S_2$. Следовательно, $v_1 > v_2$, — площадь поперечного сечения трубы увеличивается, а скорость установившегося течения уменьшается.

Ответ: \[\Delta K=\frac12J_t\left[\left(\frac{S_1}{S_2}\right)^2-1\right]v_1^2\Delta t\]

B3 ^0.50 Выразите силу $F_t$, с которой турбина действует на проходящую через неё воду, через $v_1$, $v_2$ и $J_t$.

С одной стороны, $\Delta=F_t\Delta t$. С другой стороны, $\Delta p=J_t(v_2-v_1)\Delta t$. $\implies$

Ответ: \[F_t=J_t(v_2-v_1)\]

B4 ^0.50 Найдите $v_t$.

Поскольку мощность, передаваемая жидкости, равна $\mathcal P=F_tv_t$, а $F_t=J_t(v_2-v_1)$, то\[\mathcal P=J_t(v_2-v_1)v_t.\]С другой стороны,\[\mathcal P=\cfrac{\Delta K}{\Delta t}=\frac12J_t(v_2^2-v_1^2).~\implies\]

Ответ: \[v_t=\frac{v_1+v_2}2\]

B5 ^0.50 Используя результат пункта $\bf B4$, получите выражение для $\mathcal P_t$.

Мощность, передаваемая турбине, равна $\mathcal P_t=-\mathcal P$. Учитывая что $J_t=\rho v_tS_t$, имеем:\[\mathcal{P}_{t}=\frac{1}{2} J_{t}\left(v_1^2-v_2^2\right)=\frac{1}{2}\left(\rho v_{t} S_{t}\right)\left(v_1^2-v_2^2\right)=\frac{1}{4} \rho S_{t}\left(v_1+v_2\right)\left(v_1^2-v_2^2\right).\]

Ответ: \[\mathcal P_t=\frac14\rho S_t(v_1+v_2)\left(v_1^2-v_2^2\right)\]

B6 ^0.50 Выразите $\mathcal P_0$ через $\rho$, $v_1$ и $S_t$.

В отсутствие турбины масса воды, проходящая через поперечное сечение $S_t$, равна $\rho v_1S_t$, $\implies$

Ответ: \[\mathcal P_0=\frac12\rho v_1^3S_t\]

B7 ^1.00 Выразите КПД турбины $\eta$ через $r=\frac{v_2}{v_1}$. Нарисуйте график $\eta(r)$ в диапазоне $r\in[0,1]$.

\[\eta(r)=\cfrac{\mathcal P_t}{\mathcal P_0}=\cfrac12(1+r)(1-r^2),\quad 0 < r < 1.\]

Ответ:

B8 ^0.50 Найдите максимальный КПД турбины $\eta_\max$ и значение $r$, при котором $\eta_\max$ достигается.

Для поиска экстремума КПД решим уравнение:\[0=\cfrac{\mathrm d\eta}{\mathrm dr}=\frac12(1-3r)(1+r).\]Поскольку $r > 0$, то $r=\cfrac13$. Значение КПД в этой точке $\eta_\mathrm{max}=\cfrac{16}{27}\approx0.593.$

Ответ: \[r=\frac13,\quad\eta_\max=\frac{16}{27}\]

C1 ^0.50 Оцените, какая кинетическая энергия $\mathcal P_0$ проходит через поперечное сечение течения в единицу времени.

В единицу времени через поперечное сечение течения проходит кинетическая энергия $\mathcal P_0=\cfrac12\rho v_1^3S$. Здесь площадь $S=100\cdot10^3\cdot400~м^2=4\cdot10^7~м^2$, плотность $\rho=10^3~кг/м^3$, скорость $v_1=3\cdot1852~м/ч=1.54~м/с$. $\implies$

Ответ: \[\mathcal P_0=7.3\cdot10^{10}~Вт\]

C2 ^0.50 Оцените верхний предел возможной мощности $\mathcal P_t$ электроэнергии, вырабатываемой за счёт течения.

Предел извлекаемой мощности соответствует КПД $\eta_\mathrm{max}$. Таким образом, $\mathcal P_t=\cfrac1{100}\cdot0.593\cdot\mathcal P_0$. $\implies$

Ответ: \[\mathcal P_t=4.3\cdot10^8~Вт\]

Возобновляемая электроэнергия

Решение