Часть A. Второе уравнение Максвелла.

Как показано на рисунке $\it1(a)$, электрическое поле направлено вертикально вверх и уменьшается по величине в направлении слева направо.

A1 Покажите, что такое электрическое поле не может существовать в статическом случае.

Силовые линии на рисунке $\it2(b)$ представляют собой семейство дуг концентрических окружностей. Пусть величина поля постоянна во всём пространстве.

A2 Покажите, что такое электрическое поле не может существовать в статическом случае. Найдите, как падает с расстоянием $r$ от центра напряжённость статического электрического поля $E$, если его силовые линии в некоторой области представляют собой семейство дуг концентрических окружностей.

A3 Найдите электрическое поле $E(t)$ на расстоянии $r$ от оси симметрии электромагнита. Какое напряжение $V$ создаётся между концами $P$ и $Q$ витка радиуса $r$, помещённого в зазор?

Часть B. Ускорение зарядов.

Пусть теперь в зазор на расстоянии $R$ от оси симметрии помещён покоящийся точечный заряд $q$. При изменении тока через электромагнит заряд начнёт двигаться под воздействием вихревого электрического поля. Оказывается, что при некоторых условиях на поле $B$ заряд может двигаться в результирующем поле по окружности.

B1 Найдите, как связаны между собой магнитное $B(t)$ и электрическое $E(t)$ поля на окружности радиуса $R$, чтобы заряд мог так двигаться.

Если рассматривать магнитное поле не только на траектории заряда, становится ясно, что оно уже не может быть однородным, поэтому попробуем представить его в виде\[B(r,t)=F_B(r)G(t),\]а магнитный поток через окружность радиуса $r$ -- в виде\[\Phi(r,t)=F_\Phi(r)G(t).\]

B2 Найдите соотношение между $F_B(r)$ и $F_\Phi(r)$ при $r=R$.

Такому соотношению можно удовлетворить, если использовать для создания поля два соленоида радиусами $a$ и $b$ (внешний и внутренний соленоиды соответственно). Плотность их намотки одинакова, а ток через внутренний соленоид в два раза больше тока через внешний.

B3 При каких значениях $a$ и $b$ можно создать поле, удовлетворяющее соотношению, полученному в предыдущем пункте?

Часть C. Четвёртое уравнение Максвелла.

Точно так же, как в законе электромагнитной индукции переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое, переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное:\[V_\mathrm m(\mathrm C)=\frac{\mathrm d\Phi_\mathrm e(\mathrm S)}{\mathrm dt},\]где $V_\mathrm m(\mathrm C)$ – это циркуляция $\itнапряжённости$ магнитного поля $\vec H=\cfrac{\vec B}{\mu_0}$ по контуру $\mathrm C$, а $\Phi_\mathrm e$ – поток $\itиндукции$ электрического поля $\vec D=\varepsilon_0\vec E$ через поверхность $\mathrm S$, которую этот контур ограничивает.

Рассмотрим круглый плоский конденсатор радиуса $a$, заряд на верхней обкладке которого обозначим как $Q(t)$. Когда заряд меняется со временем, в конденсаторе создаётся вихревое магнитное поле.

C1 Найдите величину и направление индукции $B$ этого поля на расстоянии $r$ от оси симметрии конденсатора. Считайте, что расстояние между пластинами много меньше радиуса $a$.