Logo
Logo

Плазмонный парогенератор

При решении задачи вам могут потребоваться следующие постоянные

  • Скорость света в вакууме  $c = 2.998 \times 10^8 ~\text{м} \cdot \text{с}^{-1}$
  • Элементарный заряд $e = 1.602\times 10^{-19}~\text{Кл}$
  • Электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} ~\text{Кл}^2 \cdot \text{Дж}^{-1} \cdot \text{м}^{-1}$
  • Масса электрона $m_e = 9.109 \times 10^{-31}~\text{кг}$
  • Молярная масса серебра $M_{Ag} = 1.079 \times 10^{-1}~\text{кг} \cdot \text{моль}^{-1}$
  • Плотность серебра $\rho_{Ag} = 1.049 \times 10^4~\text{кг} \cdot \text{м}^{-3}$
  • Удельная теплоемкость серебра $c_{Ag} = 2.40 \times 10^2~\text{Дж} \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{К}^{-1}$
  • Молярная масса воды $M_{wa} = 1.801 \times10^{-2}~\text{кг} \cdot \text{моль}^{-1}$
  • Плотность воды $\rho_{wa} = 0.998 \times 10^3~\text{кг} \cdot \text{м}^{-3}$
  • Удельная теплоемкость воды $c_{wa} = 4.181 \times 10^3~\text{Дж} \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{К}^{-1} $
  • Удельная теплота испарения воды $L_{wa} = 2.260 \times 10^6 ~\text{Дж} \cdot \text{кг}^{-1} $
  • Удельная теплоемкость пара $c_{st} = 2.080 \times 10^3~\text{Дж} \cdot \text{кг}^{-1} \cdot \text{К}^{-1} $

Введение

В этой задаче мы исследуем эффективный процесс получения водяного пара, который был реализован в эксперименте. В водном растворе содержатся шарообразные наноразмерные частицы серебра (наночастицы) , концентрация которых порядка $10^{13}$ частиц на литр. Раствор освещается сфокусированным пучком света. Часть света поглощается наночастицами, которые при этом нагреваются и превращают в воду в пар вблизи своей поверхности, не нагревая при этом остальной объем жидкости. Пар выходит из раствора пузырьками. В настоящее время не все детали этого процесса полностью понятны, но точно известно, что в основе процесса лежит поглощение света с последующим возбуждением так называемых коллективных колебаний электронов в металлических наночастицах. Это устройство получило название плазмонного парогенератора.

Одиночная сферическая частица серебра

Во всех пунктах задачи мы рассматриваем шарообразную наночастицу серебра радиусом $R = 10.0~\text{нм}$ с центром, зафиксированным в начале координат, см. рис 1(a). Все движения, силы или движущие поля параллельны горизонтальной оси $x$ (с единичным вектором $\textbf{e}_x$). Наночастица содержит свободные электроны (электроны проводимости), которые могут перемещаться во всем объеме наночастицы, не будучи привязаны ни к одному из атомов серебра. От каждого изначально нейтрального атома серебра высвободилось по одному электрону проводимости, в результате чего все атомы стали положительными ионами.

2.1  0,70 Определите объем $V$ и массу $M$ наночастицы, число $N$ и плотность зарядов $\rho$ ионов серебра в частице, а для свободных электронов — их концентрацию $n$, суммарный заряд $Q$ и суммарную массу $m_0$.

Электрическое поле в нейтральной полости внутри заряженного шара

В дальнейшем будем считать, что относительная диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ всех материалов равна 1. Внутри заряженного шара радиусом $R$ с постоянной плотностью зарядов $\rho$ создана небольшая сферически нейтральная область радиусом $R_1$, путем добавления зарядов с противоположной плотностью $- \rho$. Центр полости смещен на $\textbf{x}_d = x_d \textbf{e}_x$ относительно центра шара, рис 1(b).

2.2  1,20 Покажите, что электрическое поле внутри нейтральной области однородно и имеет вид $\textbf{E} = A(\rho/\varepsilon_0) \textbf{x}_p$. Определите константу $A$.

Возвращающая сила, действующая на смещенное электронное облако

Изучим коллективное движение свободных электронов. Промоделируем их однородно заряженным шаром с отрицательной плотностью заряда $- \rho$ с центром $\textbf{x}_p$. Шар может двигаться вдоль оси $x$ относительно центра неподвижного положительно заряженного шара из ионов серебра, находящегося в начале системы координат, рис 1(c). Предположим, что внешняя сила $\textbf{F}_\text{ext}$ смещает электронное облако в новое положение равновесия $\textbf{x}_p = x_p \textbf{e}_x$, где $|x_p| \ll R$. Практически весь объем является электрически нейтральным, за исключением малых областей зарядов, скапливающихся на противоположных концах наночастицы. Это соответствует предельному случаю $R_1 \to R$ в предыдущем задании.

2.3  1,00 Выразите через $\textbf{x}_p$ и $n$ следующие две величины: возвращающую силу $\textbf{F}$, действующую на электронное облако, и работу $W_{el}$, совершенную над электронным облаком в процессе смещения.

Шарообразная частица серебра в постоянном внешнем электрическом поле

Наночастица находится в вакууме. Под действием внешней силы $\textbf{F}_{\text{ext}}$ (вызванной однородным электрическим полем $\textbf{E}_0 = - E_0 \textbf{e}_x$) электронное облако смещается на небольшое расстояние $|x_p|$, где $|x_p| \ll R$.

2.4  0,60 Выразите смещение электронного облака $x_p$ через $E_0$ и $n$. Определите величину заряда электронов $- \Delta Q$, прошедшего через плоскость $xy$, проходящую через центр наночастицы. Выразите ее через $n$, $R$ и $x_p$.

Эквивалентные емкость и индуктивность серебряной наночастицы

В случае как постоянного, так и переменного электрического поля $\textbf{E}_0$ наночастица может быть представлена эквивалентным электрическим контуром. Определим его эквивалентную емкость. Для этого свяжем работу $W_{el}$ по разделению зарядов $\Delta Q$ с энергией конденсатора, несущего заряды $\pm \Delta Q$. Разделение зарядов приводит к появлению напряжения $V_0$ на эквивалентном конденсаторе.

2.5a  0,70 Выразите эквивалентную емкость наночастицы $C$ через $\varepsilon_0$ и $R$ и найдите ее численное значение.

2.5b  0,40 Для данной емкости выразите через $E_0$ и $R$ эквивалентное напряжение $V_0$, которое следует подать на конденсатор, чтобы накопить заряд $\Delta Q$.

В переменном поле $\textbf{E}_0$ электронное облако движется как единое целое со скоростью $\textbf{v} = v\textbf{e}_x$, рис. 1(d). Облако обладает кинетической энергией $W_{kin}$ и при своем движении создает электрический ток $I$, протекающий через плоскость $yz$. Кинетическая энергия электронного облака может быть представлена в виде энергии эквивалентной катушки индуктивности $L$ с током $I$.

2.6a  0,70 Выразите $W_{kin}$ и $I$ через скорость $v$.

2.6b  0,50 Выразите эквивалентную индуктивность $L$ через радиус частицы $R$, заряд электрона $e$ и его массу $m_e$, концентрацию свободных электронов $n$ и найдите ее численное значение.

Плазмонный резонанс наночастицы серебра

Из вышеприведенного анализа следует, что движение электронного облака. представленного самому себе после смещения из положения равновесия, может быть описано свободными колебаниями в идеальном колебательном $LC$ контуре. Такое колебательное движение свободного электронного облака известно как плазмонный резонанс с соответствующей плазмонной частотой $\omega_p$.

2.7a  0,50 Выразите плазмонную частоту $\omega_p$ колебаний электронного облака через заряд электрона $e$ и его массу $m_e$, плотность заряда электронов $n$ и электрическую постоянную $\varepsilon_0$.

2.7b  0,40 Вычислите $\omega_p$ в рад/с и длину света в вакууме $\lambda_p$ в нм, частота которой $\omega = \omega_p$.

Наночастица серебра, освещенная светом плазмонной частоты

В оставшейся части задачи наночастица освещается монохроматическим светом с циклической частотой $\omega_p$ и интенсивностью $S = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 E_0^2 = 1.00~\text{МВт} \cdot \text{м}^{-2}$. Поскольку длина волны света велика по сравнению с размерами частицы $\lambda_p \gg R$, можно считать, что частица находится в однородном внешнем поле $\textbf{E}_0 = - E_0 \cos( \omega_p t) \textbf{e}_x$. Под действием поля $\textbf{E}_0$ электронное облако осциллирует с той же самой частотой и постоянной амплитудой $x_0$. Центр электронного облака движется с переменной скоростью $\textbf{v} = d\textbf{x}_p/dt$. Такие колебания электронного облака приводят к поглощению света частицей. Энергия, поглощенная частицей, либо превращается в теплоту за счет джоулевых потерь в самой частице, либо переизлучается частицей в виде рассеянного света.

Джоулево тепло выделяется за счет случайных, полностью неупругих столкновений свободных электронов с ионами серебра. Вся кинетическая энергия превращается в энергию колебаний ионов, то есть в тепло. Среднее время между двумя последовательными столкновениями для одного электрона $\tau \gg 1/\omega_p$. Для наночастицы серебра оно равно $\tau = 5.24 \cdot 10^{-15}~\text{с}$.

2.8a  1,00 Найдите выражение для усредненной по времени мощности джоулевых потерь $P_{heat}$ в наночастице, а также усредненный по времени квадрат силы тока $\langle I^2 \rangle$. Приведите их явную зависимость от среднего квадрата скорости $\langle v^2 \rangle$ электронного облака.

2.8b  1,00 Моделируя наночастицу омическим сопротивлением, на котором выделяется джоулево тепло мощностью $P_{heat}$ при протекании тока $I$ электронного облака, найдите выражение для эффективного сопротивления $R_{heat}$. Вычислите его численное значение.

Падающий пучок света теряет некоторую среднюю мощность $P_{scat}$ за счет рассеяния на осциллирующем электронном облаке (переизлучение). $P_{scat}$ зависит от характеристик источника рассеянных волн (амплитуды $x_0$, заряда $Q$, циклической частоты $\omega_p$) и свойств световых волн (скорости света $c$ и электрической постоянной $\varepsilon_0$). Выражение для $P_{scat}$ можно записать как $P_{scat} = \frac{Q^2 x_0^2 \omega_p^4}{12\pi \varepsilon_0 c^3} $.

2.9  1,00 Используя $P_{scat}$, найдите выражение для эквивалентного сопротивления рассеяния $R_{scat}$ в эквивалентной модели с сопротивлением (по аналогии с $R_{heat}$) и вычислите его значение.

Для моделирования наночастицы серебра все вышеперечисленные элементы электрических цепей можно собрать в единый последовательный $RLC$ контур. Гармонический источник напряжения в цепи $V = V_0 \cos (\omega_p t)$ определяется электрическим полем $E_0$ падающего света.

2.10a  1,20 Получите выражения для средних по времени мощностей потерь $P_{heat}$ и $P_{scat}$ через амплитуду электрического поля $E_0$ падающего свет на частоте плазмонного резонанса $\omega = \omega_p$.

2.10b  0,30 Вычислите значения $E_0$, $P_{heat}$, $P_{scat}$.

Парообразование с помощью света

Водный раствор содержит наночастицы серебра с концентрацией $n_{np} = 7.3 \times 10^{15}~\text{м}^{-3}$. Раствор находится внутри прозрачного прямоугольного сосуда размером $h \times h \times a = 10 \times 10 \times 1.0~\text{см}^3$. Сосуд освещается нормально падающим по нормали пучком монохроматического света на частоте плазмонного резонанса с интенсивностью $S = 1.0~\text{МВт} \cdot \text{м}^{-2}$, рис 1(e). Температура воды $T_{wa} = 20^\circ C$. Предположим, что в установившемся состоянии все джоулево тепло в наночастице идет на парообразование (с конечной температурой пара $T_{st} = 100^\circ C$). Температура воды при этом остается постоянной.

Термодинамический к.п.д. плазмонного парогенератора определяется как $\eta = P_{st}/P_{tot}$, где $P_{st}$ — мощность, идущая на производство пара во всем сосуде, а $P_{tot}$ — полная мощность светового потока, падающего на сосуд. Большую часть времени каждая наночастица окружена паром, а не водой. Поэтому можно считать, что она находится в вакууме.

2.11a  0,60 Вычислите полную массу пара $\mu_{st}$, произведенного в плазмонном парогенераторе за одну секунду при облучении световым пучком с плазмонной частотой и интенсивностью $S$, как дано выше.

2.11b  0,20 Вычислите значение к.п.д. $\eta$ плазмонного генератора.