При решении задачи вам могут потребоваться следующие постоянные
В этой задаче мы исследуем эффективный процесс получения водяного пара, который был реализован в эксперименте. В водном растворе содержатся шарообразные наноразмерные частицы серебра (наночастицы) , концентрация которых порядка $10^{13}$ частиц на литр. Раствор освещается сфокусированным пучком света. Часть света поглощается наночастицами, которые при этом нагреваются и превращают в воду в пар вблизи своей поверхности, не нагревая при этом остальной объем жидкости. Пар выходит из раствора пузырьками. В настоящее время не все детали этого процесса полностью понятны, но точно известно, что в основе процесса лежит поглощение света с последующим возбуждением так называемых коллективных колебаний электронов в металлических наночастицах. Это устройство получило название плазмонного парогенератора.
Во всех пунктах задачи мы рассматриваем шарообразную наночастицу серебра радиусом $R = 10.0~\text{нм}$ с центром, зафиксированным в начале координат, см. рис 1(a). Все движения, силы или движущие поля параллельны горизонтальной оси $x$ (с единичным вектором $\textbf{e}_x$). Наночастица содержит свободные электроны (электроны проводимости), которые могут перемещаться во всем объеме наночастицы, не будучи привязаны ни к одному из атомов серебра. От каждого изначально нейтрального атома серебра высвободилось по одному электрону проводимости, в результате чего все атомы стали положительными ионами.
В дальнейшем будем считать, что относительная диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ всех материалов равна 1. Внутри заряженного шара радиусом $R$ с постоянной плотностью зарядов $\rho$ создана небольшая сферически нейтральная область радиусом $R_1$, путем добавления зарядов с противоположной плотностью $- \rho$. Центр полости смещен на $\textbf{x}_d = x_d \textbf{e}_x$ относительно центра шара, рис 1(b).
Изучим коллективное движение свободных электронов. Промоделируем их однородно заряженным шаром с отрицательной плотностью заряда $- \rho$ с центром $\textbf{x}_p$. Шар может двигаться вдоль оси $x$ относительно центра неподвижного положительно заряженного шара из ионов серебра, находящегося в начале системы координат, рис 1(c). Предположим, что внешняя сила $\textbf{F}_\text{ext}$ смещает электронное облако в новое положение равновесия $\textbf{x}_p = x_p \textbf{e}_x$, где $|x_p| \ll R$. Практически весь объем является электрически нейтральным, за исключением малых областей зарядов, скапливающихся на противоположных концах наночастицы. Это соответствует предельному случаю $R_1 \to R$ в предыдущем задании.
Наночастица находится в вакууме. Под действием внешней силы $\textbf{F}_{\text{ext}}$ (вызванной однородным электрическим полем $\textbf{E}_0 = - E_0 \textbf{e}_x$) электронное облако смещается на небольшое расстояние $|x_p|$, где $|x_p| \ll R$.
В случае как постоянного, так и переменного электрического поля $\textbf{E}_0$ наночастица может быть представлена эквивалентным электрическим контуром. Определим его эквивалентную емкость. Для этого свяжем работу $W_{el}$ по разделению зарядов $\Delta Q$ с энергией конденсатора, несущего заряды $\pm \Delta Q$. Разделение зарядов приводит к появлению напряжения $V_0$ на эквивалентном конденсаторе.
В переменном поле $\textbf{E}_0$ электронное облако движется как единое целое со скоростью $\textbf{v} = v\textbf{e}_x$, рис. 1(d). Облако обладает кинетической энергией $W_{kin}$ и при своем движении создает электрический ток $I$, протекающий через плоскость $yz$. Кинетическая энергия электронного облака может быть представлена в виде энергии эквивалентной катушки индуктивности $L$ с током $I$.
Из вышеприведенного анализа следует, что движение электронного облака. представленного самому себе после смещения из положения равновесия, может быть описано свободными колебаниями в идеальном колебательном $LC$ контуре. Такое колебательное движение свободного электронного облака известно как плазмонный резонанс с соответствующей плазмонной частотой $\omega_p$.
В оставшейся части задачи наночастица освещается монохроматическим светом с циклической частотой $\omega_p$ и интенсивностью $S = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 E_0^2 = 1.00~\text{МВт} \cdot \text{м}^{-2}$. Поскольку длина волны света велика по сравнению с размерами частицы $\lambda_p \gg R$, можно считать, что частица находится в однородном внешнем поле $\textbf{E}_0 = - E_0 \cos( \omega_p t) \textbf{e}_x$. Под действием поля $\textbf{E}_0$ электронное облако осциллирует с той же самой частотой и постоянной амплитудой $x_0$. Центр электронного облака движется с переменной скоростью $\textbf{v} = d\textbf{x}_p/dt$. Такие колебания электронного облака приводят к поглощению света частицей. Энергия, поглощенная частицей, либо превращается в теплоту за счет джоулевых потерь в самой частице, либо переизлучается частицей в виде рассеянного света.
Джоулево тепло выделяется за счет случайных, полностью неупругих столкновений свободных электронов с ионами серебра. Вся кинетическая энергия превращается в энергию колебаний ионов, то есть в тепло. Среднее время между двумя последовательными столкновениями для одного электрона $\tau \gg 1/\omega_p$. Для наночастицы серебра оно равно $\tau = 5.24 \cdot 10^{-15}~\text{с}$.
Падающий пучок света теряет некоторую среднюю мощность $P_{scat}$ за счет рассеяния на осциллирующем электронном облаке (переизлучение). $P_{scat}$ зависит от характеристик источника рассеянных волн (амплитуды $x_0$, заряда $Q$, циклической частоты $\omega_p$) и свойств световых волн (скорости света $c$ и электрической постоянной $\varepsilon_0$). Выражение для $P_{scat}$ можно записать как $P_{scat} = \frac{Q^2 x_0^2 \omega_p^4}{12\pi \varepsilon_0 c^3} $.
Для моделирования наночастицы серебра все вышеперечисленные элементы электрических цепей можно собрать в единый последовательный $RLC$ контур. Гармонический источник напряжения в цепи $V = V_0 \cos (\omega_p t)$ определяется электрическим полем $E_0$ падающего света.
Водный раствор содержит наночастицы серебра с концентрацией $n_{np} = 7.3 \times 10^{15}~\text{м}^{-3}$. Раствор находится внутри прозрачного прямоугольного сосуда размером $h \times h \times a = 10 \times 10 \times 1.0~\text{см}^3$. Сосуд освещается нормально падающим по нормали пучком монохроматического света на частоте плазмонного резонанса с интенсивностью $S = 1.0~\text{МВт} \cdot \text{м}^{-2}$, рис 1(e). Температура воды $T_{wa} = 20^\circ C$. Предположим, что в установившемся состоянии все джоулево тепло в наночастице идет на парообразование (с конечной температурой пара $T_{st} = 100^\circ C$). Температура воды при этом остается постоянной.
Термодинамический к.п.д. плазмонного парогенератора определяется как $\eta = P_{st}/P_{tot}$, где $P_{st}$ — мощность, идущая на производство пара во всем сосуде, а $P_{tot}$ — полная мощность светового потока, падающего на сосуд. Большую часть времени каждая наночастица окружена паром, а не водой. Поэтому можно считать, что она находится в вакууме.