|
2.1. 1
Объём наночастицы $V=\cfrac43\pi R^3=4.19\cdot10^{-24}~м^3$ Масса наночастицы $M=V\rho_{Ag}=4.39\cdot10^{-20}~кг$ Число ионов в наночастице $N=N_A\cfrac M{M_{Ag}}=2.45\cdot10^5$ Плотность ионного заряда $\rho=\cfrac{eN}V=9.38\cdot10^9~Кл\cdotм^{-3}$ Концентрация электронов $n=\cfrac NV=5.85\cdot10^{28}~м^{-3}$ Суммарный заряд электронов $Q=eN=3.93\cdot10^{-14}~Кл$ Суммарная масса электронов $m_0=m_eN=2.23\cdot10^{-25}~кг$ |
7 × 0,10 |
|
| 2.2. 1 Рассмотрим шар радиуса $R$ с постоянной плотностью заряда $\rho$. В точке $\vec r=r\vec e_r$ ($r < R$) внутри шара напряжённость электрического поля равна $4\pi r^2\varepsilon_0\vec E_+=\cfrac43\pi r^2\rho\vec e_r$, где $\vec e_r$ — единичный вектор, направленный от центра сферы. Таким образом, $\vec E_+=\cfrac\rho{3\varepsilon_0}\vec r$ | 0,40 |
|
| 2.2. 2 Точно так же внутри шара радиуса $R_1$ с плотностью заряда $-\rho$ в точке $\vec r'$ напряжённость электрического поля равна $\vec E_-=-\cfrac\rho{3\varepsilon_0}\vec r'$, где $\vec r'$ — радиус-вектор точки в относительно центра этого шара | 0,40 |
|
| 2.2. 3 Из принципа суперпозиции поле внутри рассматриваемой в этом пункте области получается из этих полей с учётом $\vec r'=\vec r-\vec x_d$. Т.е. внутри нейтральной области $|\vec r-\vec x_p| < R_1$ напряжённость поля $\vec E=\vec E_++\vec E_-=\cfrac\rho{3\varepsilon_0}\vec r-\cfrac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec r-\vec x_d)=\cfrac\rho{3\varepsilon_0}\vec x_d$ $\implies$ $A=1/3$ | 0,40 |
|
| 2.3. 1 При $\vec x_p=x_p\vec e_x$, $x_p\ll R$ индуцированное поле внутри частицы равно $\vec E_{ind}=\cfrac\rho{3\varepsilon_0}\vec x_p$ | 0,20 |
|
| 2.3. 2 Число электронов на границе частицы, из-за которых возникает поле $\vec E_{ind}$, намного меньше числа электронов внутри частицы, поэтому $\vec F\approx Q\vec E_{ind}=(-eN)\cfrac\rho{3\varepsilon_0}\vec x_p=-\cfrac{4\pi}{9\varepsilon_0}R^3e^2n^2x_p\vec e_x$ | 0,40 |
|
| 2.3. 3 Работа, которую необходимо совершить, чтобы сместить электронное облако, $W_{el}=-\int^{x_p}_0F(x')~\mathrm dx'=\cfrac12\cfrac{4\pi}{9\varepsilon_0}R^3e^2n^2x_p^2$ | 0,40 |
|
| 2.4. 1 Внутри наночастицы в стационарном состоянии электрическое поле должно быть равно $0$ $\implies$ $\vec E_0+\vec E_{ind}=0$, поэтому $x_p=\cfrac{3\varepsilon_0}\rho E_0=\cfrac{3\varepsilon_0}{en}E_0$ | 0,30 |
|
| 2.4. 2 Заряд, прошедший через плоскость $yz$, равен суммарному заряду электронов в цилиндре радиусом $R$ и высотой $x_p$: $-\Delta Q=\rho \pi R^2x_p=-\pi R^2nex_p$ | 0,30 |
|
| 2.5a. 1 Электростатическая энергия $W_{el}$ конденсатора с ёмкостью $C$ и зарядом $\pm Q$ равна $W_{el}=\Delta Q^2/2C$ | 0,20 |
|
| 2.5a. 2 Энергия этого конденсатора должна быть равна работа, необходимой для сдвига электронного облака, т.е. $C=\cfrac{\Delta Q^2}{2W_{el}}=\cfrac94\varepsilon_0\pi R$ | 0,40 |
|
| 2.5a. 3 Численный ответ $C=6.26\cdot10^{-19}~Ф$ | 0,10 |
|
| 2.5b. 1 Связь заряда и напряжения $\Delta Q=CV_0$ | 0,20 |
|
| 2.5b. 2 Окончательный ответ $V_0=\Delta Q/C=\cfrac43RE_0$ | 0,20 |
|
| 2.6a. 1 Кинетическая энергия электронного облака определяется как кинетическая энергия одного электрона, помноженная на число электронов в облаке, $W_{kin}=\cfrac12m_ev^2N=\cfrac12m_ev^2\left(\cfrac43\pi R^3n\right)$ | 0,40 |
|
| 2.6a. 2 Ток $I$ равен заряду электронов в цилиндре площади $\pi R^2$ и высоты $v\Delta t$, делённому на $\Delta t$, т.е. $I=-env\pi R^2$ | 0,30 |
|
| 2.6b. 1 Энергия тока $I$ в контуре с индуктивностью $L$ равна $W=\cfrac12 LI^2$ | 0,20 |
|
| 2.6b. 2 Приравнивая её к кинетической энергии электронов $W_{kin}$, получаем $L=\cfrac{4m_e}{3\pi Rne^2}$ | 0,20 |
|
| 2.6b. 3 Численный ответ $L=2.57\cdot10^{-14}~Гн$ | 0,10 |
|
| 2.7a. 1 По аналогии с $LC$-контуром получаем $\omega_p=1/\sqrt{LC}=\sqrt{ne^2/3\varepsilon_0m_e}$ | 0,50 |
|
| 2.7b. 1 Численно $\omega_p=7.88\cdot10^{15}~рад/с$ | 0,20 |
|
| 2.7b. 2 Длина волны $\lambda_p=2\pi c/\omega_p=239~нм$ | 0,20 |
|
| 2.8a. 1 Скорость электрона $v=\cfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=-\omega x_0\sin\omega t=v_0\sin\omega t$ | 0,10 |
|
| 2.8a. 2 Средняя кинетическая энергия электрона $\left\langle W_k\right\rangle=\left\langle\cfrac{m_ev^2}2\right\rangle=\cfrac{m_e}2\left\langle v^2\right\rangle$ | 0,20 |
|
| 2.8a. 3 За время $\tau$ электрон один раз сталкивается с ионом, поэтому потери энергии наночастицей за время $\tau$ равны $W_{heat}=N\left\langle\cfrac{m_e v^2}2\right\rangle=\cfrac43\pi R^3n\left\langle\cfrac{m_e v^2}2\right\rangle$ | 0,20 |
|
| 2.8a. 4 Средняя мощность Джоулевых потерь $P_{heat}=\cfrac1\tau W_{kin}=\cfrac1{2\tau}m_e\left\langle v^2\right\rangle\left(\cfrac43\pi R^3n\right)$ | 0,20 |
|
| 2.8a. 5 Выражение для среднего квадрата тока $\left\langle I^2\right\rangle=(en\pi R^2)^2\left\langle v^2\right\rangle=\left(\cfrac{3Q}{4R}\right)^2\left\langle v^2\right\rangle$ | 0,30 |
|
| 2.8b. 1 Поскольку среднее время между соударениями $\tau\gg1/\omega_p$, один электрон совершает множество колебаний между соседними соударениями с ионами | 0,30 |
|
| 2.8b. 2 Ток $I=I_0\sin\omega t=\pi R^2nev_0\sin\omega t$ свободных электронов создаёт тепловые потери мощностью $P_{heat}=R_{heat}\left\langle I^2\right\rangle$ $\implies$ $R_{heat}=\cfrac{W_{kin}}{\tau\left\langle I^2\right\rangle}=\cfrac{2m_e}{3\pi ne^2R\tau}$ | 0,50 |
|
| 2.8b. 3 Численный ответ $R_{heat}=2.45~Ом$ | 0,20 |
|
| 2.9. 1 $R_{scat}=P_{scat}/\left\langle I^2\right\rangle$ | 0,20 |
|
| 2.9. 2 Средний квадрат скорости при колебаниях $\left\langle v^2\right\rangle=\cfrac12\omega_p^2x_0^2$ | 0,20 |
|
| 2.9. 3 Окончательный ответ $R_{scat}=\cfrac{Q^2x_0^2\omega_p^4}{12\pi\varepsilon_0c^3}\cfrac{16R^2}{9Q^2\left\langle v^2\right\rangle}=\cfrac{8\omega_0^2R^2}{27\pi\varepsilon_0c^3}$ | 0,40 |
|
| 2.9. 4 Численный ответ $R_{scat}=2.45~Ом$ | 0,20 |
|
| 2.10a. 1 Связь амплитуд тока и напряжения в $LCR$-контуре $I_0=V_0/\sqrt{(R_{heat}+R_{scat})^2+\left(\omega L-1/\omega C\right)^2}$ | 0,40 |
|
| 2.10a. 2 В резонансе $\left\langle V^2\right\rangle=Z_R^2\left\langle I^2\right\rangle=(R_{heat}+R_{scat})^2\left\langle I^2\right\rangle$ | 0,10 |
|
| 2.10a. 3 Из результатов пункта 2.5b $\left\langle V^2\right\rangle=\cfrac12V_0^2=\cfrac89R^2E_0^2$ | 0,20 |
|
| 2.10a. 4 Средний квадрат тока $\left\langle I^2\right\rangle=\cfrac{8R^2E_0^2}{9(R_{heat}+R_{scat})^2}$ | 0,10 |
|
| 2.10a. 5 Окончательные ответы $P_{heat}=R_{heat}\left\langle I^2\right\rangle=\cfrac{8R_{heat}R^2E_0^2}{9(R_{heat}+R_{scat})^2}$, $P_{scat}=R_{scat}\left\langle I^2\right\rangle=\cfrac{8R_{scat}R^2E_0^2}{9(R_{heat}+R_{scat})^2}$ | 2 × 0,20 |
|
| 2.10b. 1 Численные ответы $E_0=\sqrt{2S/\varepsilon_0c}=27.4~кВ/м$, $P_{heat}=6.82~нВт$, $P_{scat}=6.81~нВт$ | 3 × 0,10 |
|
| 2.11a. 1 Число наночастиц в парогенераторе $N_{np}=h^2an_{np}=7.3\cdot10^{11}$ | 0,10 |
|
| 2.11a. 2 Джоулевы потери в резервуаре $P_{st}=N_{np}P_{heat}=4.98~кВт$ | 0,10 |
|
| 2.11a. 3 Выражение $P_{st}=\mu_{st}L_{tot}$, где $L_{tot}$ — эквивалентная теплота испарения | 0,10 |
|
| 2.11a. 4 $L_{tot}=c_{wa}(T_{100}-T_{wa})+L_{wa}+c_{st}(T_{st}-T_{100})=2.62\cdot10^6~Дж/кг$ | 0,20 |
|
| 2.11a. 5 Окончательный ответ $\mu_st=\cfrac{P_st}{L_{tot}=1.90\cdot10^{-3}~кг/с$ | 0,10 |
|
| 2.11b. 1 Формула $\eta=\cfrac{P_{st}}{h^2S}$ | 0,10 |
|
| 2.11b. 2 Численный ответ $\eta=0.498$ | 0,10 |
|