Список констант, которые могут вам понадобиться:

В модели идеального газа, описываемого уравнением Менделеева-Клапейрона, не учитываются два важных физических эффекта. Во-первых, молекулы реального газа имеют конечный размер, во-вторых - они взаимодействуют друг с другом. Во всех частях задачи рассматривается один моль водяного пара.

Часть A. Уравнение состояния неидеального газа

С учетом конечного размера молекул уравнение состояния газа примет вид
\begin{equation}
P(V-b) = RT,
\end{equation}где $P$, $V$, $T$ — давление газа, его объем и температура, соответственно, $R$ — универсальная газовая постоянная, а $b$ — некоторая постоянная.

A1  ^0.30 Оцените параметр $b$ и выразите его через характерный диаметр молекулы воды $d$.

С учетом сил межмолекулярного притяжения Ван-дер-Ваальс предложил следующее уравнение, которое описывает жидкое и газообразное состояние вещества:
\begin{equation}
\left(P + \frac{a}{V^2}\right) \left( V - b \right) = RT,
\end{equation}где $a$ — ещё одна постоянная.

При температурах $T$ ниже некоторой критической температуры $T_c$ изотерма уравнения (2) представляет собой немонотонную кривую 1, изображенную на рис. 1, которая называется изотермой Ван-дер-Ваальса. На этом же рисунке построена кривая 2 — изотерма идеального газа при той же температуре. Реальная изотерма отличается от изотермы Ван-дер-Ваальса прямым участком $АВ$ с постоянным давлением $P_{LG}$, расположенным по оси объемов между $V_L$ и $V_G$, на котором реализуется равновесие жидкости (обозначенной индексом $L$) и газа (обозначенного индексом $G$). Использовав второе начало термодинамики, Дж. Максвелл показал, что давление $P_{LG}$ должно быть выбрано таким образом, чтобы показанные на рисунке 1 площади $I$ и $II$ были одинаковы.

С увеличением температуры длина прямолинейного участка $AB$ изотермы уменьшается и при некоторой температуре $T_c$ и давлении $P_{LG} = P_c$ обращается в нуль. Параметры $P_c$ и $T_c$ называются критическими и могут быть измерены экспериментально с большой точностью.

A2  ^1.30 Выразите постоянные Ван-дер-Ваальса $a$ и $b$ через $T_c$ и $P_c$.

A3  ^0.20 Для воды $T_c=647$ K и $P_c=2.2\cdot10^7$ Па. Вычислите $a_w$ и $b_w$ для воды.

A4  ^0.20 Оцените диаметр молекулы воды $d_w$.

Часть B. Свойства газа и жидкости

В данной части задачи рассматриваются свойства воды в газообразном и жидком состояниях, находящейся при $t =100^\circ$C. Давление насыщенного пара при этой температуре равно $P_{LG}=p_0=1.0\cdot10^5$ Па. Молярная масса воды $\mu=1.8\cdot10^{-2}$ кг/моль.

Газообразное состояние

Можно считать, что при описании свойств воды в газообразном состоянии выполняется условие $V_G \gg b$.

B1  ^0.80 Получите формулу для объема пара $V_G$ при заданных условиях и выразите его через $R$, $T$, $p_0$ и $a$.

Этот же объем $V_{G0}$ можно приближенно рассчитать с помощью уравнения состояния идеального газа.

B2  ^0.30 Рассчитайте, на сколько процентов уменьшается объем газа вследствие межмолекулярных взаимодействий: $\frac{\Delta V_G}{V_{G0}} = \frac{V_{G0} - V_G}{V_{G0}}$.

При уменьшении объема пара ниже значения $V_G$ начинается его конденсация. Однако тщательно очищенный пар может оставаться в механически метастабильном состоянии (переохлажденный пар) до тех пор, пока его объем не достигнет некоторого значения $V_{G\min}$.

Условие механической стабильности переохлажденного газа при постоянной температуре записывается как $\frac{dP}{dV} < 0$.

B3  ^0.70 Найдите и рассчитайте, во сколько раз можно уменьшить объем пара, чтобы он оставался в газообразном состоянии. Другими словами, найдите $V_G / V_{G\min}$.

Жидкое состояние

Можно считать, что при ван-дер-ваальсосвском описании свойств воды в жидком состоянии выполняется неравенство: $P \ll a / V^2$.

B4  ^1.00 Выразите объем воды $V_L$ в жидком состоянии через $a$, $b$, $R$ и $T$.

Полагая, что $b R T \ll a$, рассчитайте следующие характеристики воды (не удивляйтесь, если некоторые данные не совпадут с известными вам табличными значениями).

B5  ^0.30 Выразите плотность воды $\rho_L$ через $\mu$, $a$, $b$, $R$ и рассчитайте ее.

B6  ^0.60 Выразите объемный коэффициент теплового расширения $\alpha = \frac{1}{V} \frac{\Delta V_L}{\Delta T}$ через $a$, $b$, $R$ и рассчитайте его.

B7  ^1.10 Выразите удельную теплоту парообразования воды $L$ через $\mu$, $a$, $b$, $R$ и рассчитайте ее.

B8  ^1.20 Рассмотрите мономолекулярный слой воды и оцените коэффициент $\sigma$ её поверхностного натяжения.

Часть C. Система жидкость-пар

Из правила Максвелла (равенства площадей) и уравнения Ван-дер-Ваальса при использованных в части B приближениях следует, что зависимость давления насыщенного пара $p_{LG}$ от температуры $T$ имеет вид
\begin{equation}
\ln p_{LG} = A + \frac{B}{T},
\end{equation}
где $A$, $B$ — постоянные величины, которые могут быть выражены через $a$, $b$ следующим образом: $A = \ln \left( \frac{a}{b^2} \right) - 1$, $B = - \frac{a}{b R}$.

C1  ^1.30 Найдите малое изменение давления $\Delta p_T$ насыщенных паров над искривленной поверхностью жидкости и выразите его через плотность пара $\rho_S$, плотность жидкости $\rho_L$, коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ и радиус кривизны поверхности $r$.

Метастабильные состояния (рассмотренные в пункте В3) широко используются в реальных физических установках, таких, как камера Вильсона, пузырьковая камера для регистрации элементарных частиц, а также встречаются в природных явлениях, например, при образовании утренней росы. Переохлажденный пар стремится сконденсироваться, образуя капельки жидкости. Очень маленькие капли быстро испаряются, а достаточно большие могут расти.

C2  ^1.70 Предположим, что вечером при температуре $t_e=20^\circ$C пар был насыщенным, а утром температура окружающей среды упала на небольшую величину $\Delta t=5.0^\circ$C. Считая давление пара неизменным, оцените минимальный радиус капель, которые могут расти. Коэффициент поверхностного натяжения воды равен $\sigma=7.3\cdot10^{-2}$ Н/м.