A1  ^0.30 Оцените параметр $b$ и выразите его через характерный диаметр молекулы воды $d$.

Мы рассматриваем 1 моль газа (то есть $N_A$ молекул), характерный размер молекулы $d^3$. $b$ - суммарный объём молекул.

A2  ^1.30 Выразите постоянные Ван-дер-Ваальса $a$ и $b$ через $T_c$ и $P_c$.

Рассмотрим уравнение относительно $V$.
$$\left(PV^2 + a\right)(V-b) = RTV^2$$
$$PV^3 - \left(Pb+RT\right) V^2 + aV - ab = 0$$
Заметим, что это кубическое уравнение, а при критических значениях температуры и давления три решения этого уравнения должны совпасть.
$$P_cV^3 - \left(P_cb+RT_c\right) V^2 + aV - ab = P_c(V-V_c)^3$$
$$\begin{cases}
ab =P_c V_c^3\\
a = 3P_cV_c^2\\
P_cb+RT_c = 3P_cV_c
\end{cases}$$
Делением первых уравнений получаем:
$$V_c = 3b.$$
$$RT_c = 8P_c b$$
$$b = \cfrac{RT_c}{8P_c}, \qquad a=3P_c V_c^2=27P_c b^2 = \cfrac{27R^2T_c^2}{64P_c}$$

A3  ^0.20 Для воды $T_c=647$ K и $P_c=2.2\cdot10^7$ Па. Вычислите $a_w$ и $b_w$ для воды.

A4  ^0.20 Оцените диаметр молекулы воды $d_w$.

Воспользуемся результатом $\mathrm{A1}$:
$$d_w = \sqrt[3]{\cfrac{b}{N_A}}$$

B1  ^0.80 Получите формулу для объема пара $V_G$ при заданных условиях и выразите его через $R$, $T$, $p_0$ и $a$.

Уравнение состояние с учётом малости $b$:
$$\left(P_0 + \cfrac{a}{V^2}\right)V = RT.$$
$$P_0V^2-RTV+a=0$$
Решение уравнения:
$$V = \cfrac{RT}{2P_0}\left(1 \pm \sqrt{1-\cfrac{4a P_0}{R^2 T^2}}\right)$$
Заметим, что пару соответсвует корень с плюсом.

B2  ^0.30 Рассчитайте, на сколько процентов уменьшается объем газа вследствие межмолекулярных взаимодействий: $\frac{\Delta V_G}{V_{G0}} = \frac{V_{G0} - V_G}{V_{G0}}$.

по уравнению состояния для идеального газа:
$$V_{G0} = \cfrac{RT}{P_0}.$$
$$\cfrac{\Delta V_G}{V_{G0}} = \cfrac{1}{2}\left(1 - \sqrt{1-\cfrac{4a P_0}{R^2 T^2}}\right) \approx \cfrac{aP_0}{R^2T^2} = 0.57\%$$

B3  ^0.70 Найдите и рассчитайте, во сколько раз можно уменьшить объем пара, чтобы он оставался в газообразном состоянии. Другими словами, найдите $V_G / V_{G\min}$.

Выразим давление и найдём производную по объёму при постоянной температуре.
$$P = \cfrac{RT}{V} - \cfrac{a}{V^2}$$
$$\left(\cfrac{dP}{dV}\right)_T = -\cfrac{RT}{V^2} - \cfrac{2a}{V^3}$$
Для минимального объёма эта производная будет равна 0.
$$V_{G min} = \cfrac{2a}{RT}$$

B4  ^1.00 Выразите объем воды $V_L$ в жидком состоянии через $a$, $b$, $R$ и $T$.

В рамках данных приближений уравнение состояния:
$$\cfrac{a}{V^2} (V-b) = RT.$$
$$RTV^2-aV+ab = 0$$
$$V = \cfrac{a}{2RT}\left(1 \pm \sqrt{1-\cfrac{4RTb}{a}}\right)$$
Заметим, что жидкости соответсвует корень с минусом.

B5  ^0.30 Выразите плотность воды $\rho_L$ через $\mu$, $a$, $b$, $R$ и рассчитайте ее.

Найдём значение $V_L$ с учётом того, что выражение под корнем слабо отличается от единицы.
$$\sqrt{1 + x} \approx 1 + \cfrac{x}{2} - \cfrac{x^2}{8}$$
$$V_L = \cfrac{a}{2RT}\left(1 - \sqrt{1-\cfrac{4RTb}{a}}\right) \approx b\left(1 + \cfrac{RTb}{a}\right) \approx b$$
Найдём значение плотности:
$$\rho_L = \cfrac{\mu}{b} = 580 \cfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}.$$

B6  ^0.60 Выразите объемный коэффициент теплового расширения $\alpha = \frac{1}{V} \frac{\Delta V_L}{\Delta T}$ через $a$, $b$, $R$ и рассчитайте его.

Воспользуемся полученным ранее разложением:
$$V_L = b\left(1 + \cfrac{RTb}{a}\right) \approx b.$$
$$\cfrac{\Delta V_L}{\Delta T} = \cfrac{Rb^2}{a}$$

B7  ^1.10 Выразите удельную теплоту парообразования воды $L$ через $\mu$, $a$, $b$, $R$ и рассчитайте ее.

Для испарения воды необходимо совершить работу против силы притяжения молекул. Найти её можно, зная давление создаваемое этими силами:
$$A = \int \limits_{V_L} ^ {V_G} \cfrac{a}{V^2}dV \approx \cfrac{a}{V_L} \approx \cfrac{a}{b}.$$
Выразим $A$, используя теплоту парообразования:
$$\mu L = \cfrac{a}{b}.$$

B8  ^1.20 Рассмотрите мономолекулярный слой воды и оцените коэффициент $\sigma$ её поверхностного натяжения.

Работа на создание плёнки площади $S$:
$$A = 2\sigma S.$$
Заметим, что в плёнке молекулы взаимодействуют заметно меньше, чем в объёме жидкости, поэтому работу по созданию плёнки можно оценить теплотой испарения такого же количества воды.
$$A = 2\sigma S \approx Lm = L \rho d_w S$$
$$\sigma = \cfrac{L \rho d_w}{2} = \cfrac{a d_w}{2b^2}$$

C1  ^1.30 Найдите малое изменение давления $\Delta p_T$ насыщенных паров над искривленной поверхностью жидкости и выразите его через плотность пара $\rho_S$, плотность жидкости $\rho_L$, коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ и радиус кривизны поверхности $r$.

Найдём $h$, для этого выразим разность давлений на поверхности воды и прямо под искривлённой её частью, используя формулу Лапласа:
$$\Delta P = \rho_L gh = \rho _S gh + \cfrac{2\sigma}{r}.$$
$$h = \cfrac{2\sigma}{\left(\rho_L - \rho_S\right)gr}$$
В равновесии пар на границе с жидкостью насыщенный, поэтому искомая величина - разность давлений пара над плоской и искривлённой поверхностями.
$$\Delta p_T = \rho_S g h = \cfrac{2\sigma \rho_S}{\left(\rho_L - \rho_S\right)r} \approx \cfrac{2\sigma \rho_S}{\rho_L r}$$

C2  ^1.70 Предположим, что вечером при температуре $t_e=20^\circ$C пар был насыщенным, а утром температура окружающей среды упала на небольшую величину $\Delta t=5.0^\circ$C. Считая давление пара неизменным, оцените минимальный радиус капель, которые могут расти. Коэффициент поверхностного натяжения воды равен $\sigma=7.3\cdot10^{-2}$ Н/м.

Обозначим $p_e$ давление насыщенных паров. Утром давление насыщенных паров уменьшилось на $\Delta p$.
$$-\cfrac{\Delta p}{p_e} \approx \ln\cfrac{p_e - \Delta p}{p_e} = B\left(\cfrac{1}{T_e - \Delta T} - \cfrac{1}{T_e}\right) \approx \cfrac{B \Delta T}{T_e^2} = - \cfrac{a\Delta T}{bRT_e^2}$$
Капля растёт, если давление паров будет больше, чем для насыщенного у этой капли, то есть:
$$\Delta p - \Delta p_T = \cfrac{a p_e\Delta T}{bRT_e^2} - \cfrac{2\sigma \rho_S}{\rho_L r} \geqslant 0.$$
Плотность пара:
$$\rho_S = \cfrac{\mu p_e}{RT_e}.$$
Подставим в неравенство:
$$\cfrac{a\Delta t}{bT_e}-\cfrac{2\sigma\mu}{\rho_L r} = \cfrac{a\Delta t}{bT_e}-\cfrac{2\sigma b}{r} \geqslant 0.$$
$$r \geqslant \cfrac{2\sigma b^2 T_e}{a\Delta t}$$