Твердые тела (например металлы) представляют собой кристаллическую решетку из положительно заряженных ионов, между которыми движутся электроны. Электроны взаимодействуют с кристаллической решеткой и друг другом, поэтому для точного описания свойств твердого тела нужно решать крайне сложную многочастичную задачу. Однако в некоторых случаях оказывается, что все влияние взаимодействия сводится к тому, что вместо электронов в кристалле распространяются слабо взаимодействующие друг с другом частицы, уравнения движения которых существенно отличаются от уравнений для свободных электронов. Такие практически не взаимодействующие друг с другом частицы называют квазичастицами. Для простоты их обычно тоже называют электронами. Свойства квазичастиц определяются параметрами кристаллической решетки и величиной взаимодействия электронов и ионов.

Для электрона (квазичастицы) зависимость энергии от импульса $\varepsilon(\vec{p})$ может иметь очень сложный вид. Тогда связь скорости и импульса задается соотношениями
$$
v_x = \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_x}, \quad v_y = \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_y}, \quad v_z = \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_z}.
$$
Скорость понимается в обычном смысле — как производная соответствующей координаты по времени.

Выражение для силы, действующей на электрон во внешних электрических и магнитных полях такое же, как и в случае движения в вакууме и уравнения движения имеют вид
$$
\frac{d\vec{p}}{dt} =\vec{F}.
$$
Заряд электрона равен $-q$, $q > 0$.

В этой задаче вам предстоит рассмотреть некоторые случаи движения квазичастиц (электронов) с заданной зависимостью $\varepsilon(\vec{p})$. В части C вы сможете изучить еще один тип квазичастиц — фононы, представляющие собой колебания кристаллической решетки.

Часть A. Блоховские осцилляции (2 балла)

A1  ^0.70 Пусть зависимость энергии электрона от импульса имеет вид
$$\varepsilon(p) = \varepsilon_0 (3 - \cos(ap_x) - \cos( ap_y) - \cos (ap_z)).$$
Найдите его ускорение в момент времени, когда импульс равен $p_x = \dfrac{\pi}{2 a}$, $p_y = \dfrac{\pi}{3 a}$, $p_z = 0$, а компоненты действующей на электрон силы $F_x$, $F_y$, $F_z$.

A2  ^0.80 Пусть  электрон с $\varepsilon(\vec{p})$ из A1 движется в постоянном электрическом поле величины $E$, направленном вдоль оси $x$.  Начальные координаты и проекции импульса равны нулю. Заряд электрона $-q$. Найдите его закон движения $x(t)$.

A3  ^0.50 Концентрация свободных электронов в некотором веществе равна $n$, зависимость $\varepsilon(p)$ как в A1. В начальный момент времени включается постоянное электрическое поле $E$, направленное вдоль оси $x$. Найдите зависимость плотности тока $j$ от времени.

Часть B. Движение в магнитном поле (4 балла)

В этой части будем рассматривать движение электрона в постоянном магнитном поле $\vec{B}$.

B1  ^0.50 Пусть зависимость энергии от импульса $\varepsilon(\vec{p})$ произвольна. Докажите, что энергия $\varepsilon$ и проекция импульса на направление магнитного поля сохраняются.

Дальше будем считать, что магнитное поле величины $B$ направлено вдоль оси $z$, а движение электрона происходит в плоскости $xy$.

B2  ^1.10 Пусть зависимость энергии от импульса имеет вид
$$\varepsilon = \frac{p_x^2}{2 m_x} + \frac{p_y^2}{2 m_y} .$$
Энергия электрона равна $\varepsilon$. Найдите частоту движения $\omega$. Изобразите траекторию движения частицы на плоскости $xy$, укажите характерные размеры и направление движения. Начало координат поместите в центре симметрии траектории.

Пусть теперь в дополнение к магнитному полю на электрон  из B2 действует электрическое поле $E$, направленное вдоль оси $x$. Начальные значения координаты и импульса электрона равны нулю. 

B3  ^0.60 Найдите годограф вектора импульса электрона (траекторию, по которой движется конец вектора импульса, если его откладывать от одной точки). Изобразите его на плоскости $p_x$, $p_y$. Укажите характерные размеры.

B4  ^0.40 Найдите закон движения $x(t)$, $y(t)$.

Электрическое поле снова равно нулю. Зависимость энергии электрона от импульса имеет вид $$\varepsilon = \varepsilon_0(1 - \cos (ap_x)) + \frac{p_y^2}{2 m_y}.$$

B5  ^1.40 Если энергия больше минимального значения, траектории на плоскости становятся незамкнутыми, и частица может неограниченно далеко некотором направлении. Найдите эту минимальную энергию $\varepsilon_{min}$. При энергии $\varepsilon > \varepsilon_{min}$ изобразите траекторию, укажите характерные геометрические размеры.

Наличие незамкнутых электронных орбит существенно меняет свойства материала. В частности, такие орбиты определяют поведение сопротивления в сильных магнитных полях.

Часть C. Распад фонона (4 балла)

Другой тип квазичастиц, встречающихся в физике твердого тела — фононы, которые представляют собой колебания кристаллической решетки. По своим свойствам они похожи на фотоны, однако из-за особенностей решетки зависимость энергии от импульса нелинейна. Пусть зависимость энергии от импульса для фонона имеет вид
$$\varepsilon(p) = u p + \alpha p^3.$$
Здесь $u$ — скорость звука в кристалле, постоянная $\alpha$ задает величину дисперсии. В этой части будем считать, что второе слагаемое много меньше первого, $\alpha p^3 \ll up$.

C1  ^0.50 Сначала пренебрежем дисперсией и рассмотрим случай $\alpha = 0$. При каких углах $\theta_1$, $\theta_2$ возможен распад?

Далее будем рассматривать случай $\alpha \ne 0$. Оказывается, что в случае малого импульса исходного фонона $p$, углы $\theta_1$, $\theta_2$ также малы.

C2  ^0.50 Выразите модуль импульса второго фонона $q_2$ через $p$, $q_1$, $\theta_1$. Получите выражение выражение в пределе малых $\theta_1$ с точностью до второго порядка по $\theta_1$.

С3  ^1.20 Зависимость импульса излучаемого фонона от угла при малых углах имеет вид $$q_1(\theta_1) = A + B \theta_1.$$
Определите постоянные $A$, $B$. Выразите их через $p$, $u$, $\alpha$.

C4  ^0.30 При каком знаке постоянной $\alpha$ распад возможен?

C5  ^0.50 Найдите максимальный угол $\theta_{max}$, под которым может излучаться фонон. При каком условии на $p$ импульс фонона можно считать малым?

C6  ^1.00 Выразите угол $\theta_2$, под которым излучается второй фонон, через $\theta_1$, $p$, $u$, $\alpha$. Считайте углы малыми, учитывайте вклады первого порядка по $\theta_1$, $\theta_2$.