Pho.rs: Динамика квазичастиц

A1 ^0.70 Пусть зависимость энергии электрона от импульса имеет вид
$$\varepsilon(p) = \varepsilon_0 (3 - \cos(ap_x) - \cos( ap_y) - \cos (ap_z)).$$
Найдите его ускорение в момент времени, когда импульс равен $p_x = \dfrac{\pi}{2 a}$, $p_y = \dfrac{\pi}{3 a}$, $p_z = 0$, а компоненты действующей на электрон силы $F_x$, $F_y$, $F_z$.

A1. 1 $v_x = a \varepsilon a p_x$ или аналогичное соотношение для другой компоненты скорости	0.20
A1. 2 $ a_x = a^2 \varepsilon_0 \cos(a p_x ) \dot{p}_x $ или аналогичное соотношение для другой компоненты ускорения	0.20
A1. 3 $$ a_x = 0,\; a_y = \frac{1}{2} a^2 \varepsilon_0 F_y , \; a_z = a^2 \varepsilon _0 F_z. $$	3 × 0.10

A2 ^0.80 Пусть электрон с $\varepsilon(\vec{p})$ из A1 движется в постоянном электрическом поле величины $E$, направленном вдоль оси $x$. Начальные координаты и проекции импульса равны нулю. Заряд электрона $-q$. Найдите его закон движения $x(t)$.

A2. 1 $p_x = - q E t$	0.20
A2. 2 $v_x =- a \varepsilon_0 \sin (q a E t)$	0.20
A2. 3 $x(t) = - \dfrac{\varepsilon_0}{qE} (1 - \cos(q a E t))$	0.40
A2. 4 Ошибка в знаке заряда	-0.10

A3 ^0.50 Концентрация свободных электронов в некотором веществе равна $n$, зависимость $\varepsilon(p)$ как в A1. В начальный момент времени включается постоянное электрическое поле $E$, направленное вдоль оси $x$. Найдите зависимость плотности тока $j$ от времени.

A3. 1 $j = -q n v_x$	0.20
A3. 2 $j = n q a \varepsilon_0 \sin(q a E t)$	0.30

B1 ^0.50 Пусть зависимость энергии от импульса $\varepsilon(\vec{p})$ произвольна. Докажите, что энергия $\varepsilon$ и проекция импульса на направление магнитного поля сохраняются.

B1. 1 Получено соотношение $\dot{\varepsilon} = \vec{v} \vec{F}$ или аналог	0.20
B1. 2 Получено $\dot{\varepsilon} = 0$	0.10
B1. 3 Получено $\vec{B} \vec{p} = const$	0.20

B2 ^1.10 Пусть зависимость энергии от импульса имеет вид
$$\varepsilon = \frac{p_x^2}{2 m_x} + \frac{p_y^2}{2 m_y} .$$
Энергия электрона равна $\varepsilon$. Найдите частоту движения $\omega$. Изобразите траекторию движения частицы на плоскости $xy$, укажите характерные размеры и направление движения. Начало координат поместите в центре симметрии траектории.

B2. 1 Записаны уравнения движения	0.10
B2. 2 Получено уравнение гармонических колебаний колебаний	0.10
B2. 3 $\omega = \frac{qB}{\sqrt{m_x m_y}}$	0.20
B2. 4 Получены выражения для скорости/импульса или координат	2 × 0.15
B2. 5 Движение против часовой стрелки	0.10
B2. 6 Траектория - эллипс	0.10
B2. 7 $A_x = \frac{\sqrt{2 m_y \varepsilon}}{q B},\; A_y = \frac{\sqrt{2 m_x \varepsilon}}{qB}$	2 × 0.10

B3 ^0.60 Найдите годограф вектора импульса электрона (траекторию, по которой движется конец вектора импульса, если его откладывать от одной точки). Изобразите его на плоскости $p_x$, $p_y$. Укажите характерные размеры.

B3. 1 Записано уравнение движения	0.10
B3. 2 Из $v_y$ выделено постоянное слагаемое $-E/B$	0.10
B3. 4 $ p_x =- \sqrt{m_x m_y} \frac{E}{B} \sin \omega t, \; p_y = -m_y \frac{E}{B}(1 - \cos \omega t ). $	2 × 0.10
B3. 5 Годограф - смещенный эллипс, проходящий через начало координат	0.10
B3. 6 Указаны полуоси эллипса	0.10

B4 ^0.40 Найдите закон движения $x(t)$, $y(t)$.

B4. 1 $x(t) = -\frac{m_y E}{qB^2} (1 - \cos \omega t)$	0.20
B4. 2 $y(t) = - \frac{E}{B} t + \frac{\sqrt{m_x m_y} E}{q B^2} \sin \omega t$	0.20

B5 ^1.40 Если энергия больше минимального значения, траектории на плоскости становятся незамкнутыми, и частица может неограниченно далеко некотором направлении. Найдите эту минимальную энергию $\varepsilon_{min}$. При энергии $\varepsilon > \varepsilon_{min}$ изобразите траекторию, укажите характерные геометрические размеры.

B5. 1 Связь перемещения и изменения импульса	0.50
B5. 2 Рассмотрены траектории в импульсном пространстве	0.30
B5. 3 $\varepsilon_{min} = 2 \varepsilon_0$	0.20
B5. 4 График - кривая, протяженная вдоль оси $y$	0.20
B5. 5 $ \Delta x = \frac{\sqrt{2 m_y}}{qB} (\sqrt{\varepsilon} - \sqrt{\varepsilon - 2 \varepsilon _0}). $	0.10
B5. 6 $\Delta y = \frac{1}{qB} \frac{2\pi}{a}$	0.10

C1 ^0.50 Сначала пренебрежем дисперсией и рассмотрим случай $\alpha = 0$. При каких углах $\theta_1$, $\theta_2$ возможен распад?

C1. 1 Закон сохранения энергии	0.10
C1. 2 Закон сохранения импульса	0.10
C1. 3 $\theta_1 = \theta_2 = 0$	0.30

C2 ^0.50 Выразите модуль импульса второго фонона $q_2$ через $p$, $q_1$, $\theta_1$. Получите выражение выражение в пределе малых $\theta_1$ с точностью до второго порядка по $\theta_1$.

C2. 1 $\vec{q_2} = \vec{p} - \vec{q}_1$	0.10
C2. 2 $q_2 = \sqrt{p^2 + q_1^2 - 2 p q_1 \cos \theta_1}$	0.20
C2. 3 $q_2 \approx p - q_1 + \frac{p q_1}{2(p - q_1)} \theta_1^2$	0.20

С3 ^1.20 Зависимость импульса излучаемого фонона от угла при малых углах имеет вид $$q_1(\theta_1) = A + B \theta_1.$$
Определите постоянные $A$, $B$. Выразите их через $p$, $u$, $\alpha$.

С3. 1 Закон сохранения энергии	0.20
С3. 2 Подставлено значение $q_2$	0.30
С3. 4 $A = p$	0.30
С3. 5 $B = - \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}}$	0.40

C4 ^0.30 При каком знаке постоянной $\alpha$ распад возможен?

C4. 1 $\alpha > 0$

0.30

C5 ^0.50 Найдите максимальный угол $\theta_{max}$, под которым может излучаться фонон. При каком условии на $p$ импульс фонона можно считать малым?

C5. 1 Угол максимален при $q_1 = 0$	0.10
C5. 2 $\theta_{\max} = \sqrt{\frac{6 \alpha}{u}} p$	0.20
C5. 3 $p \ll \sqrt{\frac{u}{\alpha}}$	0.20

C6 ^1.00 Выразите угол $\theta_2$, под которым излучается второй фонон, через $\theta_1$, $p$, $u$, $\alpha$. Считайте углы малыми, учитывайте вклады первого порядка по $\theta_1$, $\theta_2$.

C6. 1 Использованы выражение для зависимости импульса испускаемого фотона от угла	0.20
C6. 2 Закон сохранения импульса	0.30
C6. 3 $$ \theta_2 = \sqrt{\frac{6 \alpha}{u}} p - \theta_1 $$	0.50

Динамика квазичастиц

Разбалловка