Выразим скорость электрона через его импульс: $$ v_x = \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_x} = \varepsilon_0 a \sin (a p_x), $$ аналогично для остальных двух компонент $$ v_y = \varepsilon_0 a \sin(a p_y), \; v_z = \varepsilon_0 a \sin(a p_z). $$ Из уравнения движения $\dfrac{d}{dt}\vec{p} = \vec{F}$. Выразим ускорение через производную импульса: $$ a_x = \dot{v}_x = \varepsilon_0 a^2 \cos (a p _x) \dot{p}_x = \varepsilon_0 a^2 \cos(a p_x) F_x. $$ Формулы остальных компонент аналогичны. Для значений импульса из условия

На электрон действует сила $F_x = - q E$, поэтому импульс $$ p_x = - q E t, $$ а соответствующая скорость $$ v_x = -a \varepsilon_0 \sin(aqE t). $$ Остальные проекции скорости равны нулю. Интегрируя, найдем зависимость координаты $x$ от времени

Плотность тока выражается через скорость и концентрацию электронов $$ j_x = - n q v_x = n q a \varepsilon_0 \sin (a q E t). $$

Уравнение движения $$ \dot{\vec{p}} = - q \vec{v} \times \vec{B}. $$ Производная энергии по времени $$ \frac{d \varepsilon} {dt} = \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_x} \dot{p}_x + \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_y} \dot{p}_y +\frac{\partial \varepsilon}{\partial p_z} \dot{p}_z = v_x \dot{p}_x + v_y \dot{p}_y + v_z \dot {p}_z = \vec{v} \dot{\vec{p}}. $$ Подставляя выражение для производной импульса, получим $$ \dot{\varepsilon} = \vec{v} \cdot\left(- q \vec{v} \times \vec{B}\right) = 0. $$ Умножив уравнение движения скалярно на магнитное поле получим $$ \frac{d}{dt} (\vec{B}{\vec{p}}) = \vec{B} \dot{\vec{p}} = - q \vec{B} (\vec{v} \times \vec{B}) = 0, $$ то есть проекция импульса на магнитное поле постоянна.

Запишем уравнения движения: \begin{align*} m_x\dot{v}_x &= - q v_y B;\\ m_y \dot{v}_y &= q v_x B. \end{align*} Исключим из первого уравнения $v_y$ продифференцировав его и выразив $\dot{v}_y$ из второго уравнения. Получим $$ m_x \ddot{v}_x = - q \dot{v}_y B = - \frac{q^2 B^2}{m_y} v_x, $$ то есть $$ \ddot{v}_x = - \frac{q^2 B^2}{m_x m_y} v_x. $$ Это уравнение гармонических колебаний с частотой $$ \omega = \frac{qB}{\sqrt{m_x m_y}}. $$

Зависимость скорости от времени имеет вид $$ v_x = A \cos (\omega t + \varphi), $$ где амплитуду $A$ можно найти, зная энергию электрона: $$ A = \sqrt{\frac{2\varepsilon}{m_x}}. $$ Вторую компоненту скорости можно найти из уравнения движения $$ v_y = - \frac{m_x}{q B} \dot{v}_x = \sqrt{\frac{2\varepsilon}{m_x}} \frac{\omega}{qB} \sin(\omega t + \varphi) = \sqrt{\frac{2 \varepsilon}{m_y}} \sin (\omega t + \varphi). $$ Интегрируя, получим траекторию частицы \begin{align*} x(t) &= \sqrt{\frac{2 \varepsilon}{m_x}} \frac{1}{\omega} \sin(\omega t + \varphi) = \frac{\sqrt{2 m_y \varepsilon}}{q B} \sin (\omega t + \varphi);\\ y(t ) &= - \frac{\sqrt{2 m_x \varepsilon}}{qB} \cos (\omega t + \varphi). \end{align*} Таким образом, траектория представляет собой эллипс с полуосями $$ A_x = \frac{\sqrt{2 m_y \varepsilon}}{q B},\; A_y = \frac{\sqrt{2 m_x \varepsilon}}{qB}. $$ Движение происходит против часовой стрелки.

С учетом электрического поля уравнения движения \begin{align*} m_x\dot{v}_x &= -qE- q v_y B;\\ m_y \dot{v}_y &= q v_x B. \end{align*} Введем новую переменную $u_y$ с помощью соотношения $$ v_y = - \frac{E}{B} + u_y, $$ тогда уравнения движения примут такой же вид, как и в предыдущей части: \begin{align*} m_x\dot{v}_x &= - q u_y B;\\ m_y \dot{u}_y &= q v_x B. \end{align*} Начальные условия $$ v_x (0) = 0 ,\; v_y(0) = 0, \; u_y(0) = \frac{E}{B}. $$ С учетом этого решение $$ v_x = -\sqrt{\frac{m_y}{m_x}}\frac{E}{B} \sin \omega t;\; v_y =- \frac{E}{B}(1- \cos \omega t). $$ Тогда импульсы $$ p_x =- \sqrt{m_x m_y} \frac{E}{B} \sin \omega t, \; p_y = -m_y \frac{E}{B}(1 - \cos \omega t ). $$

Ответ:

Интегрируя скорости из предыдущего пункта, получим

Запишем уравнения движения $$ \dot{\vec{p}} = - q \vec{v} \times \vec{B} = - q \dot{\vec{r}}\times \vec{B}. $$ Интегрируя, получаем $$ \Delta \vec{p} = - q \Delta \vec{r} \times \vec{B}. $$ Умножим это равенство векторно на $\vec{B}$. $$ \Delta \vec{p} \times \vec{B} = - q(\Delta \vec{r} \times \vec{B}) \times \vec{B} = q B^2 \Delta \vec{r}. $$ Таким образом, вектор перемещения можно выразить через изменение импульса $$ \Delta \vec{r} = \frac{1}{qB^2} \Delta \vec{p} \times \vec{B}. $$ Рассмотрим сначала в импульсном пространстве. Из постоянства энергии следует, что годограф импульса – поверхность $$ \frac{p^2_y}{2m_y} + \varepsilon_0 (1 - \cos ap_x) = \varepsilon = const. $$ Уравнение этой поверхности можно представить в виде $$ p_y = \pm \sqrt{2 m_y (\varepsilon - \varepsilon _0 + \varepsilon _0 \cos a p_x)}. $$ В том случае, если $\varepsilon \le 2 \varepsilon_0$, годограф представляет собой замкнутую кривую. Тогда траектория также будет замкнутой кривой. Если же $\varepsilon > 2 \varepsilon_0$, годограф импульса – незамкнутая кривая, направленная вдоль оси $x$. Тогда траектория движения частицы - кривая, направленная вдоль $y$, причем зависимость $x(y)$ – периодическая. Найдем период этой функции и ширину полосы вдоль оси $x$, которую она занимает. $$ \Delta y = \frac{1}{qB} \frac{2\pi}{a}, \; \Delta x = \frac{1}{qB} \Delta p_y = \frac{\sqrt{2 m_y}}{qB} (\sqrt{\varepsilon} - \sqrt{\varepsilon - 2 \varepsilon _0}). $$

Ответ:

Запишем законы сохранения энергии и импульса: $$ u p = u q_1 + u q_2,\; \vec{p} = \vec{q}_1 + \vec{q}_2. $$ Поскольку длина вектора $\vec{p}$ равна сумме длин остальных двух векторов, все три вектора должны быть направлены в одну и ту же сторону.

Из закона сохранения импульса $$ \vec{q}_2 = \vec{p} - \vec{q}_1. $$ Отсюда $$ q_2^2 = p^2 + q_1^2 - 2 p q_1 \cos \theta_1 = p^2 + q_1^2 - 2 p q_1 (1 - \theta_1^2/2) = (p - q_1)^2+ p q_1 \theta_1^2. $$ Извлечем корень и разложим в ряд до требуемого порядка $$ q_2 = \sqrt{ (p - q_1)^2+ p q_1 \theta_1^2} \approx p - q_1 + \frac{p q_1}{2(p - q_1)} \theta_1^2 $$

Запишем закон сохранения энергии $$ u p + \alpha p^3 = u q_1 + \alpha q_1^3 + u q_2 + \alpha q_2^3. $$ Подставим выражение для $q_2$: $$ u p + \alpha p^3 = u q_1 + \alpha q_1^3 + u \left(p - q_1 + \frac{p q_1}{2(p - q_1)} \theta_1^2\right) + \alpha \left( p - q_1 + \frac{p q_1}{2(p - q_1)} \theta_1^2\right)^3. $$ Раскроем скобки и оставим вклады порядка $\theta_1^2$: $$ \alpha p^3 = \alpha q^3 + \frac{u p q_1}{2 (p - q_1)} \theta_1^2 +\alpha (p - q_1)^3 + \frac{3 \alpha}{2} p q_1 (p - q_1)\theta_1^2. $$ Перенесем слагаемые, не зависящие от угла, налево: $$ \alpha (p^3 - q_1^3 - (p-q_1)^3) = \frac{u p q_1 \theta_1^2}{2(p - q_1)} \left( 1 + \frac{3 \alpha}{u } (p - q_1)^2\right).$$ Вторым слагаемым в скобках в правой части можно пренебречь в силу условия $\alpha p^3 \ll u p$, в левой части раскроем скобки и получим $$ 3 \alpha (p - q_1) p q_1 = \frac{u p q_1 \theta_1^2}{2(p - q_1)}. $$ Отсюда $$ (p-q_1 )^2 = \frac{u }{6 \alpha} \theta_1^2, \; q_1 = p - \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} \theta_1. $$

У уравнения в предыдущем пункте есть решение, если $\alpha > 0$.

Максимальный угол достигается при минимальном импульсе испускаемого фонона $q_1 \to 0$. Тогда из выражения для $q_1$ находим $$ \theta_{\max} = \sqrt{\frac{6 \alpha}{u}} p. $$ Вся задача решалась в приближении малых углов. Это приближение работает при условии $\theta_{max} \ll 1$, то есть $$ p \ll \sqrt{\frac{u}{\alpha}}. $$

Из результатов $\mathrm{C3}$ следует, что импульсы фононов выражаются через углы излучения как $$ q_1 = p - \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} \theta_1, \; q_2 = p - \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} \theta_2. $$ Запишем проекцию закона сохранения импульса на ось, перпендикулярную направлению движения исходного фонона: \begin{align*} q_1 \theta_1 &= q_2 \theta_2, \\ p \theta_1 - \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} \theta_1^2 &= p \theta_2 - \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} \theta_2^2. \end{align*} Перегруппируем слагаемые: $$ p(\theta_1 - \theta_2) = \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} (\theta_1^2 -\theta_2^2), \; p = \sqrt{\frac{u}{6 \alpha}} (\theta_1 + \theta_2). $$