Logo
Logo

Маятник с сухим трением

Разбалловка

A1  0,50 Нарисуйте качественно фазовую траекторию свободной частицы, движущейся между двумя параллельными упруго отражающими стенками, расположенными в точках с координатами $x = - L/2$ и $x =
L/2$.

A1. 1 [Не оригинальная разбалловка] None
A1. 2 None
A1. 3 Нарисованы траектории со стрелками, указывающими направление движения 0,50
A1. 5 Забыты стрелки -0,10
A2  1,00 Исследуйте фазовые траектории гармонического осциллятора, т.е. частицы с массой $m$, на которую действует упругая сила $F = -k x$.

Найдите уравнение фазовой траектории и параметры этой траектории. Нарисуйте качественно пример фазовой траектории гармонического осциллятора.

A2. 1 Уравнение фазовой траектории: $\frac{p^2}{2m} + \frac{x^2}{2E/k} = 1$, полуоси $\sqrt{2E/k}$ и $\sqrt{2E/m}$ 0,50
A2. 2 Нарисован эллипс со стрелками, указывающими направление движения 0,50
A2. 3 Нарисован эллипс со стрелками, указывающими направление движения -0,10
A3  1,50 Исследуйте качественно фазовый портрет этого математического маятника при произвольных углах отклонения $\alpha$ и нарисуйте его. Сколько качественно различных типов $K$ фазовых траекторий существует у этой системы? Найдите условия, которыми определяются эти различные типы фазовых траекторий. Можете не рассматривать в качестве фазовых траекторий сами точки равновесия.

A3. 1 $K = 3$: правильно определены случаи $E < 2 m g L$, $E = 2 m g L$ и $E > 2 m g L$ (по 0.3 за определение каждого случая и условия, определяющее его) 3 × 0,20
A3. 2 None
A3. 3 Нарисованы фазовые портреты со стрелками, указывающими направление движения 3 × 0,30
A3. 4 Забыты стрелки -0,10
B1  1,00 Запишите уравнение движения гармонического осциллятора, на который действует сила трения скольжения.

B1. 1
\begin{equation*}
\begin{cases}
\ddot{x} + \omega_0^2 x = -\frac{F_{тр}}{m}, \quad \dot{x} > 0 \\
\ddot{x} + \omega_0^2 x = +\frac{F_{тр}}{m}, \quad \dot{x} < 0
\end{cases},
\end{equation*}
или просто $m \ddot{x} + k x = F_{тр}$, если в решении в дальнейшем правильно выбирается направление силы трения
1,00
B2  2,00 Нарисуйте качественно фазовую траекторию.

B2. 1 На промежутках постоянного знака $\dot{x}$ движение совпадает с движением гармонического маятника со смещенным положением равновесия 1,00
B2. 2 Смещенные положения равновесия: $x_- = -F_{тр}/m \omega_0^2$, $x_+ = F_{тр}/m \omega_0^2$ 0,50
B2. 3 Нарисована фазовая траектория со стрелками, указывающими направление движения 0,50
B2. 4 None
B2. 5 Забыты стрелки -0,10
B3  1,00 Останавливается ли тело в положении, когда пружина не растянута? Если нет, то какова ширина области, в которой может остановиться тело?

B3. 1 Остановка возможна на промежутке $[x_-, x_+]$ 0,50
B3. 2 $x_+ - x_- = \frac{2 F_{тр}}{m \omega_0^2}$ 0,50
B4  1,50 Найдите величину изменения максимального отклонения осциллятора в положительном направлении $x$ в течение одного полного колебания $\Delta A$. Найдите время между двумя последовательными максимальными отклонениями в положительном направлении. Найдите также зависимость этого максимального отклонения от времени $A(t_n)$, где $t_n$ — время достижения $n$-ого максимума.

B4. 1 $\Delta A = A(t) - A(t+T) = 2 (x_+-x_-) = \frac{4 F_{тр}}{m \omega_0^2}$ 0,50
B4. 2 $t_n - t_{n-1} = \frac{2\pi}{\omega_0}$ 0,50
B4. 3 $A(t) = A_0 - p t$, где $p = \frac{2 F_{тр}}{\pi m \omega_0}$ 0,50
B5  1,00 Нарисуйте качественно график зависимости координаты от времени $x(t)$ и оцените число $N$ совершаемых телом колебаний.

B5. 1 $N = \frac{A_0}{2\left(x_+-x_-\right)}$ 0,50
B5. 3 None
B5. 4 Явно показано, что амплитуда уменьшается линейно 0,20
B5. 5 Достигается полная остановка 0,20
B5. 6 Остановка происходит не в нуле, а в некоторой другой точке между $x_-$ и $x_+$ 0,10