Pho.rs: Маятник с сухим трением

A1 ^0.50 Нарисуйте качественно фазовую траекторию свободной частицы, движущейся между двумя параллельными упруго отражающими стенками, расположенными в точках с координатами $x = - L/2$ и $x = L/2$.

1 [Не оригинальная разбалловка]
2
3 Нарисованы траектории со стрелками, указывающими направление движения	0.50
5 Забыты стрелки	-0.10

A2 ^1.00 Исследуйте фазовые траектории гармонического осциллятора, т.е. частицы с массой $m$, на которую действует упругая сила $F = -k x$. Найдите уравнение фазовой траектории и параметры этой траектории. Нарисуйте качественно пример фазовой траектории гармонического осциллятора.

1 Уравнение фазовой траектории: $\frac{p^2}{2m} + \frac{x^2}{2E/k} = 1$, полуоси $\sqrt{2E/k}$ и $\sqrt{2E/m}$	0.50
2 Нарисован эллипс со стрелками, указывающими направление движения	0.50
3 Нарисован эллипс со стрелками, указывающими направление движения	-0.10

A3 ^1.50 Исследуйте качественно фазовый портрет этого математического маятника при произвольных углах отклонения $\alpha$ и нарисуйте его. Сколько качественно различных типов $K$ фазовых траекторий существует у этой системы? Найдите условия, которыми определяются эти различные типы фазовых траекторий. Можете не рассматривать в качестве фазовых траекторий сами точки равновесия.

1 $K = 3$: правильно определены случаи $E < 2 m g L$, $E = 2 m g L$ и $E > 2 m g L$ (по 0.3 за определение каждого случая и условия, определяющее его)	3 × 0.20
2
3 Нарисованы фазовые портреты со стрелками, указывающими направление движения	3 × 0.30
4 Забыты стрелки	-0.10

B1 ^1.00 Запишите уравнение движения гармонического осциллятора, на который действует сила трения скольжения.

1 \begin{equation*} \begin{cases} \ddot{x} + \omega_0^2 x = -\frac{F_{тр}}{m}, \quad \dot{x} > 0 \\ \ddot{x} + \omega_0^2 x = +\frac{F_{тр}}{m}, \quad \dot{x} < 0 \end{cases}, \end{equation*} или просто $m \ddot{x} + k x = F_{тр}$, если в решении в дальнейшем правильно выбирается направление силы трения

1.00

B2 ^2.00 Нарисуйте качественно фазовую траекторию.

1 На промежутках постоянного знака $\dot{x}$ движение совпадает с движением гармонического маятника со смещенным положением равновесия	1.00
2 Смещенные положения равновесия: $x_- = -F_{тр}/m \omega_0^2$, $x_+ = F_{тр}/m \omega_0^2$	0.50
3 Нарисована фазовая траектория со стрелками, указывающими направление движения	0.50
4
5 Забыты стрелки	-0.10

B3 ^1.00 Останавливается ли тело в положении, когда пружина не растянута? Если нет, то какова ширина области, в которой может остановиться тело?

1 Остановка возможна на промежутке $[x_-, x_+]$	0.50
2 $x_+ - x_- = \frac{2 F_{тр}}{m \omega_0^2}$	0.50

B4 ^1.50 Найдите величину изменения максимального отклонения осциллятора в положительном направлении $x$ в течение одного полного колебания $\Delta A$. Найдите время между двумя последовательными максимальными отклонениями в положительном направлении. Найдите также зависимость этого максимального отклонения от времени $A(t_n)$, где $t_n$ – время достижения $n$-ого максимума.

1 $\Delta A = A(t) - A(t+T) = 2 (x_+-x_-) = \frac{4 F_{тр}}{m \omega_0^2}$	0.50
2 $t_n - t_{n-1} = \frac{2\pi}{\omega_0}$	0.50
3 $A(t) = A_0 - p t$, где $p = \frac{2 F_{тр}}{\pi m \omega_0}$	0.50

B5 ^1.00 Нарисуйте качественно график зависимости координаты от времени $x(t)$ и оцените число $N$ совершаемых телом колебаний.

1 $N = \frac{A_0}{2\left(x_+-x_-\right)}$	0.50
3
4 Явно показано, что амплитуда уменьшается линейно	0.20
5 Достигается полная остановка	0.20
6 Остановка происходит не в нуле, а в некоторой другой точке между $x_-$ и $x_+$	0.10

Маятник с сухим трением

Разбалловка