Оптические свойства среды определяются ее относительными
диэлектрическими проницаемостью $\varepsilon_r$ и магнитной проницаемостью $\mu_r$. Для обычных оптически прозрачных материалов, таких как вода и стекло, $\varepsilon_r$ и $\mu_r$ положительны, и имеет место явление преломления, удовлетворяющее закону Снеллиуса. В 1964 году российский ученый В. Веселаго строго доказал, что материал у которого одновременно и $\varepsilon_r$, и $\mu_r$ отрицательны, проявлял бы удивительные и даже невероятные оптические свойства. В начале ХХI века такие необычные оптические материалы были получены некоторыми лабораториями. Сейчас их изучение представляет передовой край научных исследований. Решая предложенные ниже задачи, вы узнаете фундаментальные оптические свойства таких необычных материалов. \textbf{Необходимо отметить, что материалы с отрицательными $\varepsilon_r$ и $\mu_r$ имеют следующие важные свойства. Когда световая волна распространяется в такой среде на расстояние $\Delta$, фаза световой волны уменьшается, а не увеличивается на величину $\sqrt{\varepsilon_r \mu_r} k \Delta$, как это имеет место в обычной среде. В этом выражении всегда выбирается положительный корень из положительной величины, а $k$ — это волновой вектор в вакууме.} В задачах, представленных ниже, мы предполагаем, что относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости воздуха равны единице.

Часть A

A1  ^1.20 Согласно вышеуказанным свойствам, и предполагая, что луч падает из воздуха (air) на поверхность этого необычного материала (medium) с $\varepsilon_r < 0$ и $\mu_r < 0$, докажите, что направление преломленного луча имеет вид как на рис. 1.

A2  ^0.80 Для рис. 1 покажите связь между углом преломления $\theta_r$ (угол между преломленным лучем и перпендикуляром к границе двух сред) и углом падения $\theta_i$.

A3  ^1.20 Предполагая, что луч падает из необычного материала (medium) в воздух (air), докажите, что направление преломленного луча имеет вид как на рис. 2.

A4  ^0.80 Для рис. 2 покажите связь между углом преломления $\theta_r$ (угол между преломленным лучем и перпендикуляром границы двух сред) и углом падения $\theta_i$.

Часть B

B1  ^1.00 Как показано на рис. 3, в воздухе размещена пластина с толщиной $d$, сделанная из необычного материала с $\varepsilon_r = \mu_r = -1$, с точечным источником света, расположенным перед пластинкой на растоянии $\frac{3}{4}d$. Детально нарисуйте ход трех лучей из этого источника. \newline
Подсказка: При данных условиях задачи нет отражения от границы между воздухом и необычным материалом.

Часть C

Как показано на рис. 4 резонансная область образована двумя плоскопараллельными пластинками на расстоянии $d$ друг от друга. Оптически одна из пластинок, обозначенная на рис. 4 как Пластинка 1 (Plate 1), является идеально отражающей (коэффициент отражения равен 100%), а другая, обозначенная как Пластинка 2 (Plate 2), частично отражающей (но с высоким коэффициентом отражения). Предположим, что плоские световые волны излучаются источником у Пластинки 1, тогда эти световые волны будут многократно отражаться внутри этой резонансной области. Так как Пластинка 2 неидеально отражающая, то часть световых волн будет проходит сквозь нее в моменты, когда луч будет достигать ее (лучи 1, 2, 3 показанные на рис. 4), а некоторая часть волн будет отражаться от нее. Если эти световые волны имеют одинаковые фазы, то они будут интерферировать, усиливая друг друга и ведя к резонансу. Мы предполагаем, что световая волна приобретает фазу $\pi$ в момент отражения от пластинок. Теперь мы вставляем пластинку толщиной $0.4d$ (показана в виде заштрихованной области на рис. 4), сделанной из необычного оптического материала с $\varepsilon_r = \mu_r = -0.5$, в резонансную область параллельно между двумя пластинками. Оставшееся пространство в этой области заполнено воздухом.

C1  ^1.00 Рассматривая только ситуацию, когда световая волна распространяется в направлении перпендикулярно к пластинкам (ход лучей на рис. 4 дается только в качестве схематической иллюстрации), определите все длины волн, которые удовлетворяют условию резонанса в этой области.
(Подсказка: При данных условиях задачи нет отражения от границы между воздухом и необычным материалом).

Часть D

Бесконечно длинный цилиндр радиуса $R$, сделанный из необычного оптического материала с $\varepsilon_r = \mu_r = -1$, находится в воздухе и его сечение в плоскости $XOY$ показано на рис. 5 с центром, расположенным на оси $Y$. Лазерный источник, расположенный на оси $Х$ и имеющий координату $х$, излучает узкий луч вдоль оси $Y$.

D1  ^1.00 Определите область изменения координаты $х$, для которой луч света, испущенный из этого источника не сможет достичь принимающей плоскости (receiving plane) на другой стороне цилиндра.