Pho.rs: Скрипящая дверь

A1 ^0.60 Найдите период $T_0$ и амплитуду $A$ этих колебаний.

1 Указано, что движение представляет собой гармонические колебания	0.10
2 Ответ для $T_0$	0.20
3 Ответ для $A$	0.30

A2 ^0.40 Изобразите качественно график зависимости удлинения пружины от времени $x(t)$ в интервале $0 < t < 3T_0$.

1 График — синусоида с правильным числом периодов	0.10
2 Угол наклона в начальный момент времени положительный	0.10
3 Начинается с $x > 0$	0.10
4 Положительное среднее значение $x$	0.10

A3 ^1.20 Рассмотрите другой случай, когда в начальный момент времени $t = 0$ тело находится в покое, а начальное удлинение пружины $x$, точно такое же, как в пунктах А1-А2. Изобразите качественный график зависимости скорости тела от времени $v(t)$ относительно поверхности в интервале $0 < t < 3T$, где $T$ - новый период колебаний $x(t)$. Движение направо соответствует положительному знаку скорости $v$. Укажите на вашем графике приблизительное положение горизонтальной линии $v = u$.

1 Правильное число периодов	0.10
2 Начинается с $v=0$	0.10
3 Присутствуют сегменты ненулевой длины с $v=0$	0.30
4 Во время проскальзывания скорость положительная	0.20
5 $v$ — непрерывная функция	0.10
6 Ускорение — разрывная функция в точках перехода между двумя режимами движения	0.10
7 $u$ нарисована ниже максимума $v(t)$	0.30
8 Штраф, если нарисована неправильная и неаргументированная картинка	-0.30

A4 ^0.50 Для начальных условий пункта A3, найдите среднее по времени значение удлинения пружины $\overline{x}$ за один период колебаний.

1 Правильный ответ

0.50

A5 ^2.40 Для условий пункта A3, найдите период $T$ колебаний $x(t)$.

1 Записано $T=t_{stick}+t_{slip}$	0.10
2 Смещение положения равновесия при переходе к проскальзыванию $x_1=(\mu_s-\mu_k)mg/k$	0.30
3 Время, проводимое в режиме без проскальзывания $t_{stick}=2x_1/u$	0.20
4 За время $t_{slip}$ происходит неполное гармоническое колебание с периодом $T_0$	0.20
5 Найдено изменение фазы за время $t_{slip}$	1.10
6 Найдено $t_{slip}$	0.20
7 Ответ для $T$	0.30

A6 ^2.40 Будем считать, что за каждый период колебаний $T$ небольшое количество полной энергии колебаний рассеивается и переходит в тепло. Пусть $\eta = | \Delta A / A|$ есть относительная потеря амплитуды за один период при движении в режиме прерывистого скольжения. Полагая $\eta \ll 1$, найдите критическую скорость $u_c$, по достижении которой движение с \textbf{прерывистым скольжением} становится невозможным.

1 Указано, что при $u_c$ переход в режим без проскальзывания происходит около минимума скорости для гармонических колебаний	0.40
2 Указано, что при $u_c$ имеет место $t_{stick}\ll t_{slip}$	0.40
3 Записаны правильные уравнения для определения $u_c$	1.20
4 Финальный ответ для $u_c$	0.40

B1 ^1.00 Дверь начинают очень медленно поворачивать из состояния покоя. Для маленьких углов поворота двери, получите выражение для коэффициента кручения $\kappa = \tau / \theta$, где $\tau$ –- вращающий момент, необходимый для поворота двери на угол $\theta$.

1 Соотношение между $\tau$ и $\alpha$	0.40
2 Соотношение между $\alpha$ и $\theta$	0.40
3 Финальный ответ	0.20

B2 ^1.50 При вращении двери с малой угловой скоростью происходит переход к режиму прерывистого трения, сопровождающийся испусканием звукового импульса – скрипа. Найдите угловую скорость $\Omega$ двери, при которой частота звука достигает слышимого диапазона с $f = 20$ Гц. Считайте, что частота звуковых колебаний $f_0$, возбуждаемых в стержне при самом скольжении велика, так что $f_0 \gg f$. Получите аналитический и численный результаты.

1 Указано, что $t_{stick}\gg t_{slip}$	0.20
2 Правильные уравнения для определения $\Omega$	1.00
3 Численный ответ для $\Omega$	0.30

Скрипящая дверь

Разбалловка