A1  ^0.60 Найдите период $T_0$ и амплитуду $A$ этих колебаний.

Колебания происходят под действием постоянной силы трения скольжения. Таким образом, это простые гармонические колебания со сдвинутым положением равновесия. Угловая частота колебаний равна:\[\omega_0=\sqrt{k/m}.\]Таким образом, период колебаний:

Начальная скорость тела относительно положения равновесия:\[\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)_0=u-v_0.\]Тогда амплитуда колебаний:

A2  ^0.40 Изобразите качественно график зависимости удлинения пружины от времени $x(t)$ в интервале $0 < t < 3T_0$.

График – синусоида, как показано на рисунке ниже:

Начальное положение задаётся выражением:\[x_0=\frac{\mu_kmg}{k},\]оно же является положением равновесия. От участника не требуется явно находить это значение, однако требуется понимание, что оно положительно.

A3  ^1.20 Рассмотрите другой случай, когда в начальный момент времени $t = 0$ тело находится в покое, а начальное удлинение пружины $x$, точно такое же, как в пунктах А1-А2. Изобразите качественный график зависимости скорости тела от времени $v(t)$ относительно поверхности в интервале $0 < t < 3T$, где $T$ - новый период колебаний $x(t)$. Движение направо соответствует положительному знаку скорости $v$. Укажите на вашем графике приблизительное положение горизонтальной линии $v = u$.

График будет состоять из областей скольжения и застоя. Области скольжения синусоидальные и переходят в горизонтальные области застоя с разрывом первой производной в точках пересечения. Максимумы скорости будут выше прямой $v=u$, поскольку $u$ – средняя скорость. Более того, максимумы будут выше $v=2u$, однако этого от участников не требуется.

A4  ^0.50 Для начальных условий пункта A3, найдите среднее по времени значение удлинения пружины $\overline{x}$ за один период колебаний.

В системе отсчёта дальнего конца пружины положение тела будет равно удлинению пружины $x$ с противоположным знаком. Движение представляет собой колебания в окрестности положения равновесия $x_0$. В областях скольжения движение будет происходить по синусоиде, а в областях застоя – с постоянной скоростью $-u$. Режимы движения меняются в точке, в которой сила упругости уравновешивает силу трения покоя, т.е.:\[x_s=\frac{\mu_smg}{k},\]а также в точке, симметричной $x_s$ относительно $x_0$.

Таким образом, среднее удлинение пружины равно удлинению в положении равновесия:

A5  ^2.40 Для условий пункта A3, найдите период $T$ колебаний $x(t)$.

В той же системе отсчёта найдём перемещение тела за время, проведённое в режиме застоя:\[2(x_s-x_0)=2(\mu_s-\mu_k)mg/k.\]Поскольку скорость тела в этом режиме равна $u$, тело проводит в режиме застоя:\[t_{stick}=\frac{2(\mu_s-\mu_k)mg}{ku}.\]Движение в режиме скольжения происходит по синусоиде со смещением $x_0$ и угловой частотой $\omega_0$. Фаза синусоиды $\varphi$ в момент перехода в режим скольжения задаётся отношением положения и скорости тела относительно $x_0$:\[\operatorname{tg}\varphi=\frac{\omega_0(x_s-x_0)}{u}=\frac{(\mu_s-\mu_k)g}{u}\sqrt\frac mk.\]Таким образом, тело проводит в режиме скольжения:\[t_{slip}=T_0\left(1-\frac\varphi\pi\right)=2\sqrt\frac mk\left(\pi-\operatorname{arctg}\left(\frac{(\mu_s-\mu_k)g}{u}\sqrt\frac mk\right)\right).\]Итого период колебаний:

A6  ^2.40 Будем считать, что за каждый период колебаний $T$ небольшое количество полной энергии колебаний рассеивается и переходит в тепло. Пусть $\eta = | \Delta A / A|$ есть относительная потеря амплитуды за один период при движении в режиме прерывистого скольжения. Полагая $\eta \ll 1$, найдите критическую скорость $u_c$, по достижении которой движение с \textbf{прерывистым скольжением} становится невозможным.

Продолжаем работать в той же системе отсчёта. Пока тело движется в режиме скольжения, амплитуда его движения немного уменьшится из-за потерь. В начале движения скорость равна $-u$, а фаза синусоиды равна $\varphi$, найденной в предыдущем пункте. Таким образом, амплитуда скорости в начале равна $u/\cos\varphi$. Чтобы движение перешло в режим застоя, скорость должна вернуться к значению $-u$, однако фаза синусоиды при этом будет больше $2\pi-\varphi$ из-за потерь. Иными словами, потери увеличивают продолжительность движения в режиме скольжения. Граничный случай – достижение телом скорости $-u$ строго в положении равновесия (фаза $2\pi$). Действительно, если в положении равновесия скорость будет меньше $-u$, тело продолжит движение по затухающей синусоиде, больше никогда не переходя в режим застоя. Поскольку режим застоя устраняется даже небольшими потерями $\eta\ll1$, то относительная продолжительность движения в режиме застоя также должна быть малой. Это соответствует большой скорости $u$. При этом движение с проскальзыванием длится почти весь период колебаний, и амплитуда этих колебаний за это время уменьшится на относительную величину $\eta$ с хорошей точностью. Граничному случаю соответствует ситуация, при котором $u/\cos\varphi$ уменьшается до $u$, таким образом:\[\eta=\left|\frac{\Delta A}A\right|=\left|\frac{u/\cos\varphi-u}{u/\cos\varphi}\right|=1-\cos\varphi\approx\varphi^2/2.\]Упрощая выражение для $\varphi$ в приближении малых углов, получим:\[\eta=\frac{m(\mu_s-\mu_k)^2g^2}{2ku_c^2}\implies\]

Иначе можно вывести $u_c$, явно записав начальную амплитуду $A$ гармонических колебаний:\[u_c=\omega_0A(1-\eta),\quad A^2=(x_s-x_0)^2+\frac mk u_c^2.\]Наконец, можно просто расписать потери энергии $|\Delta E/E|=2\eta$ как:\[2\eta\cdot \frac12mu_c^2=\frac12 k(x_s-x_0)^2.\]

B1  ^1.00 Дверь начинают очень медленно поворачивать из состояния покоя. Для маленьких углов поворота двери, получите выражение для коэффициента кручения $\kappa = \tau / \theta$, где $\tau$ –- вращающий момент, необходимый для поворота двери на угол $\theta$.

При малых углах поворота двери основание цилиндра остаётся неподвижным. Когда цилиндр деформируется на угол $\alpha$, его верхнее основание проворачивается на величину $h\alpha$. Это соответствует углу поворота двери $\theta=h\alpha/r$. Упругая сила сдвиговой деформации, действующая на участок нижнего основания цилиндра площадью $\mathrm dA$, равна:\[\mathrm dF=G\alpha\,\mathrm dA=\frac{Gr}{h}\theta\,\mathrm dA.\]Это создаёт момент силы:\[\mathrm d\tau=r\,\mathrm dF=\frac{Gr^2}{h}\theta\,\mathrm dA.\]Полный момент силы:\[\tau=\frac{Gr^2}{h}\theta\cdot2\pi r\Delta r=\frac{2\pi Gr^3\Delta r}{h}\theta.\]Таким образом, коэффициент кручения будет равен:

Численное значение не требуется от участников. Засчитывается любое выражение, дающее правильный ответ в пределе $\Delta r\ll r$.

B2  ^1.50 При вращении двери с малой угловой скоростью происходит переход к режиму прерывистого трения, сопровождающийся испусканием звукового импульса – скрипа. Найдите угловую скорость $\Omega$ двери, при которой частота звука достигает слышимого диапазона с $f = 20$ Гц. Считайте, что частота звуковых колебаний $f_0$, возбуждаемых в стержне при самом скольжении велика, так что $f_0 \gg f$. Получите аналитический и численный результаты.

Пренебрегая продолжительностью движения в режиме застоя, получим по аналогии с выводом в части A:\[t_{stick}=\frac{2(\mu_s-\mu_k)Mgr}{\kappa\Omega}\implies\]

Засчитывается любое выражение, дающее правильный ответ в пределе $\Delta r\ll r$. Численные ответы могут отличаться, поскольку $\Delta r/r=0.2$ нельзя считать очень малой величиной, поэтому численные ответы необходимо проверять, подставляя значения из условия в ответ, приведённый участником.