1  ^?? Как зависит скорость $v$ от радиуса $R$?

При движении от точки $C$ до точки $D$ между двумя встречами частица в кольцевой трубе совершает $N+\frac{1}{2}$ оборотов, где $N\ge 0$ — целое число. Это произошло за время
$$\Delta t=\frac{2\pi R(N+\frac{1}{2})}{v}=\frac{\pi R (2N+1)}{v}.$$Пусть $x(t)$ — расстояние от первой частицы до точки $A$ в момент времени $t$, где $x(0)=0$. Тогда $x(t)=\frac{at^2}{2}$ и $t=\sqrt{\frac{2x}{a}}$.
Длины отрезков $|AC|=\frac{L}{2}-R$ и $|AD|=\frac{L}{2}+R$.
Время движения частицы №1 от точки $C$ до точки $D$ равно
$$\Delta t=\sqrt{\frac{2}{a}}\left(\sqrt{|AD|}-\sqrt{|AC|}\right)=\frac{\sqrt{L+2R}-\sqrt{L-2R}}{\sqrt{a}}$$Получаем
$$\frac{\pi R (2N+1)}{v}=\frac{\sqrt{L+2R}-\sqrt{L-2R}}{\sqrt{a}}.$$Откуда

2  ^?? Чему равна скорость $v_1$ при $R=L/2$?

При $R=L/2$ имеем

3  ^?? Чему равна скорость $v_2$ при $R\ll L$?

При $R\ll L$ получаем