Pho.rs: Движение по спице

1 ^?? Определите модуль скорости $v_B$ точки $B$ в рассматриваемый момент.

Так как точка $A$ закреплена, а нить $AB$ натянута, то точка $B$ движется по окружности с центром в точке $A$ и радиусом $l_{AB}$. Следовательно, её скорость в рассматриваемый момент перпендикулярна радиусу окружности, то есть нити $AB$, и поэтому направлена вдоль нити $BC$, перпендикулярной нити $AB$. Найти скорость точки $B$ можно двумя способами.

Первый способ: поскольку нить $BC$ нерастяжима и натянута, то проекции скоростей точек $B$ и $C$ на неё равны. Проекция скорости точки $C$ на нить $BC$ равна $v \cos \varphi$, так что $v_B = v \cos \varphi$.

Второй способ: перейдем в систему отсчета точки $C$, то есть в поступательно движущуюся систему отсчёта, в которой точка $C$ покоится. Скорости $\vec{v}_B$ и $\vec{v}_B'$ точки $B$ в исходной и новой системах отсчёта соответственно связаны соотношением $\vec{v}_B = \vec{v}_B' + \vec{v}_C$, где $\vec{v}_C$ — скорость точки $C$ в исходной системе отсчёта. В новой системе отсчёта точка $C$ покоится, нить $BC$ натянута, так что точка $B$ движется по окружности с центром в точке $C$ и радиусом $l_{BC}$. При этом скорость точки $B$ в новой системе отсчёта направлена перпендикулярно радиусу окружности — нити $BC$. Значит, скорости $\vec{v}_B$, $-\vec{v}$ и $\vec{v}_B - \vec{v} = \vec{v}_B'$ образуют прямоугольный треугольник с углом $\varphi$ между $\vec{v}$ и $\vec{v}_B$, в котором $\vec{v}$ является гипотенузой. В таком случае $v_B = v \cos \varphi$.

Ответ: $$v_B=v\cos\varphi=\cfrac{v\sqrt{3}}{2}$$

2 ^?? Определите длину $l_{BC}$ нити $BC$.

Теперь определим длину нити $BC$. Для этого перейдём в систему отсчёта точки $C$, в точности как в Варианте 2 в предыдущем пункте. Поскольку новая система отсчёта поступательно движется относительно исходной, то ускорения $\vec{a}_B$ и $\vec{a}_B'$ точки $B$ в исходной и новой системах отсчёта соответственно связаны соотношением $\vec{a}_B = \vec{a}_B' + \vec{a}_C$, где $\vec{a}_C$ — ускорение точки $C$ в исходной системе отсчёта. Так как точка $B$ движется по окружности с центром в точке $C$ в новой системе отсчёта, то её ускорение складывается из тангенциального ускорения $\vec a_\tau'$, направленного вдоль нити $AB$, и ортогонального ему нормального ускорения $\vec a_n'$, направленного к точке $C$ вдоль нити $BC$. По условию в исходный момент $\vec{a}_C = 0$, так что $\vec{a}_B = \vec{a}_B'$. Также дано, что ускорение точки $B$, направленное вдоль нити $BC$, равно $a_\tau$. Значит, нормальное ускорение точки $B$ в новой системе отсчёта равно $a_\tau$. С другой стороны, оно равно
$$
\frac{(v_B')^2}{l_{BC}} = \frac{(v \sin \varphi)^2}{l_{BC}},
$$где равенство $v_B' = v \sin \varphi$ получается из геометрии прямоугольного треугольника, образованного скоростями $\vec v_B$, $-\vec v$ и $\vec v_B'$. Таким образом,
$$
a_\tau = \frac{(v \sin \varphi)^2}{l_{BC}} \quad \Longrightarrow \quad l_{BC} = \frac{v^2 \sin^2 \varphi}{a_\tau}.
$$

Ответ: $$l_{BC}=\cfrac{v^2\sin^2\varphi}{a_\tau}=\cfrac{v^2}{4a_\tau}$$

3 ^?? Определите модуль ускорения $a_B$ точки $B$ в рассматриваемый момент.

Определим полное ускорение точки $B$ в исходной системе отсчёта. Поскольку в исходной системе отсчёта точка $B$ движется по окружности с центром в точке $A$, то её полное ускорение складывается из двух ортогональных составляющих: тангенциального ускорения $a_\tau$ и нормального ускорения, направленного вдоль нити $AB$ к точке $A$ и равного
$$
a_n = \frac{v_B^2}{l_{AB}} = \frac{v^2 \cos^2 \varphi}{l_{BC} \cdot \operatorname{tg} \varphi} = \frac{a_\tau \cos^3 \varphi}{\sin^3 \varphi} = a_\tau \operatorname{ctg}^3 \varphi.
$$Равенство $l_{AB} = l_{BC} \cdot \operatorname{tg} \varphi$ получается из геометрии прямоугольного треугольника $ABC$. Полное ускорение точки $B$ находим по теореме Пифагора
$$
a_B = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = a_\tau \cdot \sqrt{1 + \operatorname{ctg}^6 \varphi}.
$$

Ответ: $$a_B=a_\tau\sqrt{1+\operatorname{ctg}^6\varphi}=2\sqrt{7}a_\tau$$

Движение по спице

Решение