Тонкостенная цилиндрическая гильза массы $m$, вращающаяся с угловой скоростью $\omega_0$ вокруг своей оси, влетает со скоростью $v_0$ в отверстие в стальной плите (рисунок слева). Оси гильзы и отверстия совпадают, внешний радиус гильзы $R$ равен радиусу отверстия, длина гильзы $l$ равна толщине плиты.

График зависимости силы, которую необходимо прикладывать к невращающейся гильзе, для проталкивания её через отверстие от величины перемещения представлен на рисунке справа. Максимальное значение силы равно $F_0$. Эта сила нужна для преодоления силы сухого трения, причем нормальные силы реакции, действующие на участки поверхности гильзы со стороны стен отверстия, не зависят от скорости и угловой скорости гильзы. Поверхности гильзы и отверстия однородны и одинаковы по всей длине. Координата $x=0$ отвечает положению гильзы, которая только начала входить в плиту.

1 При каком минимальном значении $v_0=v_{\min}$ гильза пролетит через отверстие (начальная угловая скорость $\omega_0$ всегда одна и та же)?

2 Чему будет равна при этом (при $v_0=v_{\min}$) угловая скорость $\omega_1$ вращения гильзы в момент, когда гильза окажется целиком внутри плиты?

3 Через какое время $\tau$ от момента влета в отверстие при начальной скорости $v_0\ge v_{\min}$ гильза окажется внутри плиты целиком?