Так как нить невесома и сила поверхностного натяжения везде перпендикулярна нити, сила натяжения нити постоянна $T=const$. Если взять участок нити длины $dl$ и пренебречь действием силы тяжести, то на него действуют только силы натяжения нити ($T_1=T_2=T$) и сила поверхностного натяжения $dF$. Приблизим участок нити дугой окружности некоторого радиуса $R$. Тогда сила поверхностного натяжения $dF=2\sigma dl=4\sigma Rd\alpha$ (с учетом того, что у пленки две поверхности). В радиальной проекции имеем условие равновесия: $2T\sin(d\alpha)=dF$. Отсюда $R=T/2\sigma$, и таким образом $R=const$, то есть вся нить имеет форму дуги окружности. Поскольку $AB$ и $CD$ равны, минимальное расстояние между нитями достигается на середине высоты.

Из рисунка для расстояний: $AC = h$, ${EF = (L-d)/2}$. По теореме Пифагора для треугольника $\triangle OEA$:
$$R^2=\left(\frac{h}{2} \right)^2+\left(R-\frac{L-d}{2}\right)^2,$$ откуда
$$R=\frac{(L-d)^2+h^2}{4(L-d)}.$$

Рассмотрим часть системы, находящуюся ниже средней линии. Условие равновесия для нее: ${2T+2 \sigma
d=mg}$ или $4\sigma R+2\sigma d=mg$.
(Либо можно рассмотреть силы, действующие непосредственно на планку: $2T \cos \alpha+2 \sigma L=mg$. Также в этом случае понадобится найти, под каким углом нить подходит к планке: $\sin \alpha=h/2R$).
Подставляя из найденного ранее радиус нити: