Примечание: Описывать построение параллельных и перпендикулярных прямых, проходящих через заданную точку, деление отрезка пополам и подобные стандартные геометрические процедуры не обязательно.
Теплоёмкость $C$ газа равна:
$$C=\cfrac{\delta{Q}}{dT}=\cfrac{dU}{dT}+\cfrac{pdV}{dT}=\nu C_V+\cfrac{pdV}{dT}
$$Поймём, для каких линейных процессов $p(V)$, кроме $p=const$ и $V=const$, теплоёмкости являются постоянными. Пусть $p=p_0+\alpha V$. Тогда из уравнения Менделеева-Клапейрона:
$$(p_0+\alpha V)V=\nu RT\Rightarrow{\cfrac{dT}{dV}=\cfrac{p_0+2\alpha V}{\nu R}}
$$Подставляя выражение для $dT/dV$ в выражение для теплоёмкости, получим:
$$C=\nu\left(C_V+R\cdot\cfrac{p_0+\alpha V}{p_0+2\alpha V}\right)
$$Теплоёмкость не зависит от объёма, если $p_0=0$, что соответствует прямой, проходящей через начало координат. Поскольку $C_p=C_V+R$, имеем:
$$C_V{<}C=\cfrac{C_p+C_V}{2}{<}C_p
$$Поскольку $C_{bc}=C_{da}>C_{ab}=C_{cd}$ — процессы $bc$ и $da$ являются изобарными, а процессы $ab$ и $cd$ соответствуют прямым линиям, проходящим через начало координат.
Проведя линии $ab$ и $cd$ до пересечения, найдём положение начала координат. Далее, проводя через начало координат лучи, параллельные и перпендикулярные направлению изобар, получим направления осей объёма $V$ и давления $p$ соответственно.
Поскольку $p_a=p_d$ и $p_b=p_c$, из подобия треугольников следует, что $V_b/V_c=V_a/V_d$. Тогда имеем:
$$\cfrac{T_b}{T_c}=\cfrac{V_b}{V_c}=\cfrac{V_a}{V_d}=\cfrac{T_a}{T_d}\Rightarrow{T_bT_d=T_aT_c}
$$Поскольку $T_b>T_c$ и $T_a>T_d$ - температуры в точках $b$ и $d$ одинаковы и равны $T_2$, а температура в точке $a$ максимальна и равна $T_1$. Тогда температура в точке $c$ равна $T_3=T^2_2/T_1$. Таким образом:
Газ получает тепло на участках $cd$ и $da$, а отдаёт — на участках $ab$ и $bc$. Тогда имеем:
$$Q_+=C(T_2-T_3)+C_p(T_1-T_2)\qquad Q_-=C(T_1-T_2)+C_p(T_2-T_3)
$$Поскольку $C_p=7\nu R/2$ и $C=3\nu R$, находим:
$$\eta=1-\cfrac{Q_-}{Q_+}=1-\cfrac{6(T_1-T_2)+7(T_2-T^2_2/T_1)}{6(T_2-T^2_2/T_1)+7(T_1-T_2)}
$$После упрощения: