ВНИМАНИЕ! Частота сигнала, подаваемого на передатчик, должна лежать именно в этом диапазоне, иначе вы повредите пьезоэлектрические устройства. Амплитуда напряжения на выходе генератора должна быть около $1~В$ (проверяется по осциллографу).

Расположим экран так, чтобы на сигнал от детектора был максимальным по амплитуде. Будем двигать зеркало $M$ и снимать зависимость его координаты $x_M$ от количества $N$ пройденных максимумов амплитуды. Координату $x_M$ измеряем с точностью до неизвестного сдвига.

От источника $S$ распространяется плоская волна $Ae^{-ikx}$ и она отражается от зеркала $M$ так, что амплитуда колебаний давления в точке источника равна $p_0$, а амплитуда колебания давления на зеркале равна нулю.

Итого давление в области между источником и зеркалом:
\[p = Ae^{-ikx} + Be^{ikx}, \quad p(0) = p_0, \quad p(x_M)=0.\]Получаем систему уравнений на коэффициенты:
\[
\begin{cases}
A + B = p_0 \\
A e^{-ikx_M} + B e^{ikx_M} = 0
\end{cases} \quad \Rightarrow
\begin{cases}
A = \frac{p_0}{2i \sin kx_M} \cdot e^{ikx_M}\\
B = -\frac{p_0}{2i \sin kx_M} \cdot e^{-ikx_M}
\end{cases}\]
Если детектор находится между источником и зеркалом, то он находится в точке, где амплитуда колебаний давления
\[p_D = \frac{p_0}{2i \sin k x_M} \left( e^{-ik(x_D-x_M)} - e^{ik(x_D-x_M)} \right) = p_0 \frac{\sin k(x_D-x_M)}{\sin kx_M} = p_0 \left( \frac{\sin kx_D}{\tan kx_M} - \cos k x_D \right)\]Мы получили периодическую относительно $x_M$, модуль которой становится максимальным (он не будет бесконечным если учесть потери) раз в $\lambda/2$. То есть график $x_M$ от $N$ будет линейным с коэффициентом наклона $-\lambda/2$.

Коэффициент наклона $k=(-0.429 \pm 0.06)~\text{см}$.

Экспериментально найдите ответы на следующие вопросы. В своих листах ответов поставьте галочку «$\checkmark$» для правильных утверждений или крестик «$\times$» для неправильных.

1. Стоячая волна наблюдается между $S$ и $M$ (Рис. 2). Эта стоячая волна появляется при любом расстоянии между $S$ и $M$.
2. Стоячая волна наблюдается между $S$ и $M$. Стоячая волна появится только для расстояний между $S$ и $M$, равных $n\lambda/2$, где $n$ — целое число.
3. В обоих положениях $A$ и $B$ микрофон обнаружит узлы и пучности стоячей волны. Это можно доказать, изменяя положения $S$ и $M$.
4. Стоячая волна появится при любых расстояниях между $S$ и $M$. Это может быть обнаружено с помощью изменения положения $D$. В положении $B$ детектор обнаружит высокий уровень сигнала, когда расстояние между $S$ и $M$ равно $n\lambda/2$, где $n$ — целое число.
5. Положение узлов и пучностей не изменяется относительно лабораторной системы (скамьи) при изменении положений $S$ и $M$.
6. Когда расстояние между $S$ и $M$ увеличивается, мощность отраженного сигнала в положении $B$ будет периодически меняться.
7. Стоячая волна появляется только между $S$ и $M$, а позади источника будет наблюдаться отраженная волна.

Если источник $S_1$излучает с частотой $f_0$, то частота сигнала $f_1$ в точке $M$:
\[ f_1 = f_0 \frac{c+v}{c} \]Вторичный источник $M$ излучает с частотой $f_1$ и двигается со скоростью $v$ и поэтому частота $f$ в точке $D$:
\[ f = f_1 \frac{c}{c-v}\]

Найдем минимальную частоту стробоскопа $\nu$ при которой болты на вертушке образуют крестик. Эта частота в 4 раза больше искомой.

Ответ:

Рассмотрим произведение двух близких по частоте сигналов:
\[ \cos \omega t \cdot \cos (\omega + \Delta \omega) t = \frac{1}{4} \left( e^{i \omega t} + e^{- i \omega t} \right)  \left( e^{i (\omega + \Delta \omega) t} + e^{- i (\omega + \Delta \omega) t} \right) = \frac{1}{2} \left( \cos (2 \omega + \Delta \omega)t + \cos \Delta \omega t \right)\]

Это произведение равно сумме быстро меняющего сигнала и медленно меняющегося. Таким образом измеренное в вопросе С4 $\Delta f$ это буквально Допплеровская разность частот. Таким образом график $\Delta f$ от $\nu$ должен быть линейным.

\[\Delta f = \frac{8}{c} \cdot (R_2 - R_1) \nu f_0\]

Коэффициент наклона графика $k=0.454~Гц/\text{RPM}=27.2$
\[c = f_0 \frac{8(R_2-R_1)}{k} = 370~м/с \]Среднеквадратичное отклонение $\sigma_k$ значении $\Delta f/\nu$ равно $0.08~Гц/\text{RPM}$. Оценим статистическую погрешность $\Delta c/c$ как $3\sigma_k/k$, при этом мы еще имеем погрешность $\Delta(R_2 - R_1)=0.1~см$. В итоге получим
\[ c= (0.37 \pm 0.03) ~км/с\]

Определите аналогичным образом наибольшую слышимую частоту $f_{high}$.

Поставим на генераторе $8.00~кГц$. Согласно алгоритму найдем
\[f_\mathrm{th}+\Delta f=8.03~\text{кГц} \quad \Rightarrow \quad \frac{\Delta f}{f_\mathrm{th}} = 3.8 \cdot 10^{-3}\]