Pho.rs: Расширяющаяся Вселенная

a ^2.00 Получите выражение для $\rho_{\mathrm{m}}(t)$ в момент времени $t$, выразив ее через $a(t), a(t_0)$ и $\rho_{\mathrm{m}}(t_0)$.

1 Выражение для объёма: $$V_p = a^3(t)V.$$	0.50
2 Концентрация: $$n(t) = n(t_0)\cdot\left(\cfrac{a(t_0)}{a(t)}\right)^3.$$	0.50
3 Связь $\rho_m$ и $n$: $$\rho_m(t) \propto n(t).$$	0.50
4 Ответ: $$\rho_m(t) = \rho_m(t_0)\cdot\left(\cfrac{a(t_0)}{a(t)}\right)^3.$$	0.50

b ^2.00 Получите выражение для плотности физической энергии излучения $\rho_r (t)$ в момент времени $t$, выразив ее через $a(t), a\left(t_0\right)$ и $\rho_{\mathrm{r}}\left(t_0\right)$.

1 Энергия одной частицы: $$E = pc.$$	0.50
2 Связь импульса и длины волны: $$p\propto \cfrac{1}{\lambda} \propto \cfrac{1}{a(t)}.$$	0.50
3 Связь энергии и $a(t)$: $$E\propto \cfrac{1}{a(t)}.$$	0.50
4 Ответ: $$\rho_r(t) = \rho_r(t_0)\cdot\left(\cfrac{a(t_0)}{a(t)}\right)^4.$$	0.50

c ^2.00 Вычислите численное значение $\gamma$.

1 Распределение Больцмана: $$n\left(E(a)\right) \propto e^{-\cfrac{E(a)}{k_BT(a)}} .$$	1.00
2 Ответ: $$\gamma = -1.$$	1.00

d ^4.00 Получите выражение для $d\rho_X(t)/dt$, выразив его через $a(t)$, $da(t)/dt$, $\rho_X(t)$, $p_X(t)$.

1 Первое начало термодинамики: $$dE_X = -p_XdV_p.$$	1.00
2 Выражение для дифференциала объёма: $$dV_p = 3a^2Vda$$	1.00
3 Выражение для энергии вещества: $$E_X = \rho_X V_p.$$	0.50
4 Дифференциал энергии: $$dE_X = a^3Vd\rho_X + 3a^2V\rho_Xda.$$	0.50
5 Выражение в дифференциалах: $$d\rho_X + 3\cfrac{da}{a} (\rho_X+p_X)=0.$$	0.50
6 Ответ: $$\dot\rho_X + 3\cfrac{\dot a}{a} (\rho_X+p_X)=0.$$	0.50

e ^4.00 Получите выражение для мощности $P_r$, получаемой телескопом от звезды $S$ как функцию $r,A,P_e$ масштабного коэффициента $a(t_e)$ в момент испускания света звездой $t_e$, и масштабный коэффициент в настоящее время $t$ (т.е. во время наблюдения) $a(t_0)$.

1 На телескоп попадает часть мощности, пропорциональная $\frac{A}{4\pi r^2 a^2(t_0)}.$	1.00
2 Энергия каждого фотона уменьшается в $\cfrac{a(t_e)}{a(t_0)}$ раз.	1.00
3 Расстояние между соседними фотонами увеличивается в $\cfrac{a(t_e)}{a(t_0)}$ раз.	1.00
4 Итоговый ответ: $$P_r = \cfrac{A a^2(t_e)}{4\pi r^2 a^4(t_0)}\cdot P_e.$$	1.00

f ^5.00 Используйте движение оболочки для нахождения соотношения между $da(t)/dt$, $a(t)$ и плотностью энергии массы $\rho(t)$. (Если Вы получите в окончательном выражении постоянную, зависящую от начальных условий, можете не вычислять ее).

1 Выражения для энергии оболочки или второй закон Ньютона для неё: $$E = \cfrac{m(\dot r_p)^2}{2}-\cfrac{GMm}{r_p}.$$	2.00
2 Выражение для массы: $$M = \cfrac{4\pi}{3}r_p^3\cfrac{\rho}{c^2}$$	1.00
3 Выражение для $r_p$: $$r_p = a(t) r$$	1.00
4 Ответ: $$(\dot a)^2 - \cfrac{8\pi G\rho a^2}{3c^2} = const.$$	1.00

g ^1.00 На основе модели, описанной в разделе (F), сделайте вывод, ускоряется (a) или замедляется (b) расширение Вселенной? Выберите (a) или (b).

1 Правильный ответ.

1.00

Расширяющаяся Вселенная

Разбалловка