Logo
Logo

Дробный квантовый эффект Холла

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Разбалловка

A15
0.0
Сумма баллов
a.1  2.00 Запишите уравнение движения электрона в перпендикулярном электрическом $\vec E=-E_y\widehat y$ и магнитном $\vec B=B \widehat z$ полях, где $\widehat x$, $\widehat y$ и $\widehat z$ — единичные вектора по направлениям осей $\mathrm X$, $\mathrm Y$ и $\mathrm Z$.

1 Верное выражение для силы Лоренца (ставится даже при потерянном минусе) $$\vec{F}_{л}=-e\left(\vec{v}\times\vec{B}+\vec{E}\right)$$ 1.00
2 $$m^*\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}_{л}$$ 1.00
3 Потерян минус у заряда электрона -0.50
a.2  1.00 Найдите установившуюся скорость электронов $\upsilon_s$.

1 Любое из выражений $\vec{v}_s=\dfrac{\vec{E}\times\vec{B}}{B^2}$ или $v_s=\dfrac{E_y}{B}$ 1.00
a.3  1.00 Укажите направление этой скорости?

1 $\vec{v}_s$ направлена против оси $x$ 1.00
b  2.00 По определению Холловское сопротивление $R_Н=V_Н/I$. Представьте $R_Н$ как функцию от числа свободных электронов $N$ на поверхности пластинки и магнитного потока $\phi$ через пластинку, который равен $\phi =BWL$, где $W$ и $L$ — ширина и длина пластинки соответственно.

1 $$V_H=E_yW$$ 0.20
2 $$I=\dfrac{\Delta{}Q}{\Delta{}t}=\dfrac{eN}{BL}E_y$$ 0.80
3 $$R_H=\dfrac{\phi}{eN}$$ 1.00
с  2.00 Из квантовой механики следует, что внешнее магнитное поле приводит к появлению коллективного движения электронов, которое можно рассматривать как круговые вихри. Количество вихрей определяется тем, что на создание одного вихря требуется поток внешнего магнитного поля, равный $h/e$, где $h$ — постоянная Планка, а $e$ — заряд электрона. Для случая $R_Н=3h/e^2$, найдите коэффициент заполнения $\nu$, который представляет собой отношение числа электронов $N$ на поверхности пластинки к числу вихрей $N_\phi$.

1 Записана связь $R_H$ и $N_\phi$: $$R_H=\dfrac{h}{e^2}\dfrac{N_\phi}{N}$$ 1.00
2 $$\nu=\dfrac{N}{N_\phi}=\dfrac{1}{3}$$ 1.00
d  2.00 Если на один электрон приходится более одного вихря, то это приводит к дополнительному отталкиванию электронов, энергия которого $\Delta U(B) \varpropto B^\alpha$ оценивается как средняя электростатическая энергия взаимодействия двух электронов при фиксированном коэффициенте заполнения. Определите коэффициент $\alpha$.

1 Среднее расстояние между электронами ($f$ – некоторая константа) $$l=fl_0=f\sqrt{\dfrac{LW}{N}}=f\sqrt{\dfrac{h}{\nu{}eB}}$$ 0.50
2 Указано, что константа $f$ зависит только от распределения электронов, появление вихрей влияет только на неё 0.50
3 $$\Delta{}U\sim\dfrac{1}{l_0}$$ 0.50
4 $$\alpha=\dfrac{1}{2}$$ 0.50
e  2.00 Некоторые вихри не связаны с электронами и могут быть рассмотрены как квазичастицы, способные нести дробный заряд $e^*=e/n$, где $\nu=1/n$. На какую величину $\Delta B$ надо изменить индукцию внешнего поля для того, чтобы в системе возникла одна квазичастица.

1 $$\Delta\phi=\dfrac{h}{e}$$ 1.00
2 $$\Delta{}B=\dfrac{h}{eLW}$$ 1.00
f.1  1.00 Вычислите тепловую энергию электрона $E_{th}$ при температуре $ T= 1.0~ К$.

1 $$E_{th}=k_B{}T$$ 0.50
2 $$E_{th}=1.38\cdot10^{-23}~Дж$$ 0.50
f.2  2.00 Из законов квантовой механики следует, что для того чтобы поместить два электрона в один вихрь требуется затратить достаточно большую энергию. Оцените её, используя принцип неопределенности.

1 Оценка размера вихря $$l_0\approx\sqrt{\dfrac{h}{eB}}$$ 0.50
2 Записано соотношение неопределённостей $$l_0\cdot{}p\sim{}h$$ 0.50
3 Затраченная энергия преобразуется в кинетическую энергию электрона $$E=\dfrac{p^2}{2m^*}=\dfrac{eBh}{2m^*}$$ 0.50
4 $$E\approx{}1.3\cdot10^{-20}~Дж$$ Ответы, отличающиеся на константу порядка 1, также оцениваются в полный балл. 0.50
g.1  2.00 Найдите силу тока через контакт $I_В$ как функцию $\lambda$ и $\tau$.

1 Среднее количество носителей, проходящих через контакт за время $\tau$ $$\langle{}n_\tau\rangle=\sum^\infty_{k=1}kP(k)=\lambda$$ 1.00
2 $$I_B=\dfrac{\langle{}n_\tau\rangle{}e^*}{\tau}=\dfrac{\nu{}e\lambda}{\tau}$$ 1.00
g.2  2.00 Шум электрического тока обусловлен его флуктуациями, т.е. отклонениями от среднего значения. Уровень шума характеризуется величиной $S_I$, определяемой как среднее от квадрата отклонения электрического заряда от его среднего значения в единицу времени. Найдите уровень шума $S_I$ как функцию $\lambda$ и $\tau$.

1 $$\left\langle(n_\tau-\langle{}n_\tau\rangle)^2\right\rangle=\langle{}n_\tau^2\rangle-\langle{}n_\tau\rangle^2=\sum^\infty_{k=1}k^2P(k)-\lambda^2=\lambda$$ 1.00
2 $$S_I=\dfrac{\left\langle(n_\tau-\langle{}n_\tau\rangle)^2\right\rangle(e^*)^2}{\tau}=\dfrac{(\nu{}e)^2\lambda}{\tau}$$ 1.00
g.3  1.00 Найдите отношение уровня шума к величине тока $S_I/I_В$.

1 $$\dfrac{S_I}{I_B}=e^*=\nu{}e$$ 1.00