Pho.rs: Дробный квантовый эффект Холла

a.1 ^2.00 Запишите уравнение движения электрона в перпендикулярном электрическом $\vec E=-E_y\widehat y$ и магнитном $\vec B=B \widehat z$ полях, где $\widehat x$, $\widehat y$ и $\widehat z$ — единичные вектора по направлениям осей $\mathrm X$, $\mathrm Y$ и $\mathrm Z$.

a.2 ^1.00 Найдите установившуюся скорость электронов $\upsilon_s$.

a.3 ^1.00 Укажите направление этой скорости?

b ^2.00 По определению Холловское сопротивление $R_Н=V_Н/I$. Представьте $R_Н$ как функцию от числа свободных электронов $N$ на поверхности пластинки и магнитного потока $\phi$ через пластинку, который равен $\phi =BWL$, где $W$ и $L$ — ширина и длина пластинки соответственно.

с ^2.00 Из квантовой механики следует, что внешнее магнитное поле приводит к появлению коллективного движения электронов, которое можно рассматривать как круговые вихри. Количество вихрей определяется тем, что на создание одного вихря требуется поток внешнего магнитного поля, равный $h/e$, где $h$ — постоянная Планка, а $e$ — заряд электрона. Для случая $R_Н=3h/e^2$, найдите коэффициент заполнения $\nu$, который представляет собой отношение числа электронов $N$ на поверхности пластинки к числу вихрей $N_\phi$.

d ^2.00 Если на один электрон приходится более одного вихря, то это приводит к дополнительному отталкиванию электронов, энергия которого $\Delta U(B) \varpropto B^\alpha$ оценивается как средняя электростатическая энергия взаимодействия двух электронов при фиксированном коэффициенте заполнения. Определите коэффициент $\alpha$.

e ^2.00 Некоторые вихри не связаны с электронами и могут быть рассмотрены как квазичастицы, способные нести дробный заряд $e^*=e/n$, где $\nu=1/n$. На какую величину $\Delta B$ надо изменить индукцию внешнего поля для того, чтобы в системе возникла одна квазичастица.

f.1 ^1.00 Вычислите тепловую энергию электрона $E_{th}$ при температуре $ T= 1.0~ К$.

f.2 ^2.00 Из законов квантовой механики следует, что для того чтобы поместить два электрона в один вихрь требуется затратить достаточно большую энергию. Оцените её, используя принцип неопределенности.

g.1 ^2.00 Найдите силу тока через контакт $I_В$ как функцию $\lambda$ и $\tau$.

g.2 ^2.00 Шум электрического тока обусловлен его флуктуациями, т.е. отклонениями от среднего значения. Уровень шума характеризуется величиной $S_I$, определяемой как среднее от квадрата отклонения электрического заряда от его среднего значения в единицу времени. Найдите уровень шума $S_I$ как функцию $\lambda$ и $\tau$.

g.3 ^1.00 Найдите отношение уровня шума к величине тока $S_I/I_В$.

Дробный квантовый эффект Холла

Решение