Pho.rs: Интерференция электронов

a ^2.00 Пусть начало координат $O$ находится на оси проволочки. Получите выражение для потенциала в произвольной точке плоскости $(x, z)$, выразив его через $V_a$, $a$ и $b$, где $V_a$ — потенциал поверхности проволочки, $a$ — радиус проволочки, $b$ — радиус цилиндрической сетки.

1 Получено выражение для потенциала проволоки через линейную плотность заряда: $$V(r)=\cfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln{\cfrac{b}{r}}.$$	1.00
2 Получен ответ через заданные величины: $$V(r)=V_a\cfrac{\ln (b/r)}{\ln (b/a)}.$$	1.00

b ^4.00 Плоская волна приходящих электронов с волновым вектором $k_z$ отклоняется «бипризмой» вследствие $x$-компоненты силы, действующей на электроны. Запишите выражение для $k_x-x$ — компоненты волнового вектора отклонённой волны. Выразите $k_x$ через $e, v_z, V_a, k_z, a$ и $b$, где $e$ и $v_z$ — заряд и $z$-компонента скорости электронов $(k_x\ll k_z)$. Напомним, что $\vec k =\frac{2\pi\vec p}{h}$ где $h$ — постоянная Планка.

1 Записано выражение для импульса, переданный электрону (проекция на x). $$p_x=\int_{-\infty}^{\infty}(-e)\left(-\cfrac{\partial V(x,z)}{\partial x}\right)\|_{x=a}dz.$$	2.00
2 В выражении потерян знак.	-0.50
3 Получено выражение для $k_x$: $$k_x=\cfrac{eV_a\pi}{\hbar v_z \ln{b/a}}.$$	2.00

c.1 ^2.00 пренебрегая релятивистскими эффектами;

1 Из ЗСЭ получено выражение: $$\cfrac{h}{\lambda}=\sqrt{2m\|-e\|V_0}.$$	1.50
2 Записано окончательное выражение: $$\lambda=\cfrac{h}{\sqrt{2m\|-e\|V_0}}.$$	0.50

c.2 ^3.00 учитывая релятивистские эффекты.

1 Записано выражение для энергии в релятивистском случае: $$E^2=(mc^2)^2+(\cfrac{h}{\lambda}c)^2.$$	1.00
2 Записано уравнение на изменения энергии: $$\cfrac{h^2c^2}{\lambda^2}=(mc^2+\|e\|V_0)^2-(mc^2)^2.$$	1.00
3 Окончательно получено: $$\lambda=\cfrac{h}{\sqrt{2meV_0\left(1+\cfrac{eV_0}{2mc^2}\right)}}$$	1.00

d.1 ^2.00 вычислите величину $k_x$.

1 Получено численное значение по формуле из пункта b.
$k_x=3{.}46\cdot10^7~м^{-1}.$

2.00

d.2 ^2.00 определите расстояние между интерференционными полосами на экране.

1 Получено расстояние между интерференционными полосами: $$\Delta=\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{2\pi}{k_x}.$$	1.50
2 Получено численное значение: $$\Delta=907\cdot10^{-10}~м.$$	0.50

d.3 ^1.00 Увеличится или уменьшится расстояние между интерференционными полосами, если распространяющаяся волна будет не плоской, а сферической?

1 Записан правильный ответ: увеличится.

1.00

d.4 ^2.00 Какую относительную погрешность в определении длины волны даёт использование нерелятивистского приближения в части (c)? Выразите ответ в процентах.

1 Вычислена нерелятивистская длина волны: $$\lambda_{nonrel}=5{.}4697\cdot10^{-12}~м.$$	0.60
2 Вычислена релятивистская длина волны: $$\lambda_{rel}=5{.}3408\cdot10^{-12}~м.$$	0.60
3 Вычислена ошибка: $$E=\cfrac{\lambda_{nonrel}-\lambda_{rel}}{\lambda_{rel}}=2{.}4\%.$$	0.80

d.5 ^2.00 Вычислите расстояние $d$ между мнимыми источниками.

1 Получено выражение: $$y=\cfrac{m\lambda(l+L)}{d}.$$	1.50
2 Получено численное значение: $$d=1{.}03\cdot10^{-4}~м.$$	0.50

Интерференция электронов

Разбалловка