1  ^?? Какую температуру $t_{к}$ имела бы вода в кастрюле к концу эксперимента, если бы по ходу нагрева её масса не изменялась?

С учётом того, что теплопотерями и теплоёмкостью кастрюли можно пренебречь, мощность плитки можно определить как $N=cm\Delta t/\Delta \tau,$ где $c$ — удельная теплоёмкость воды, $m$ — масса воды (объёмом 5 литров, $m=\rho V=5~кг$), $\Delta t$ — изменение температуры, $\Delta \tau$ — время, за которое это изменение произошло.

Так как в период с момента времени $\tau_{1}$ до момента времени $\tau_{2}$ масса воды в кастрюле равна $m$, температура изменилась с $t_{1}$ до $t_{2}$, то $N=\frac{cm(t_{2}-t_{1})}{\tau_{2}-\tau_{1}}=1.75~кДж$.

Если по ходу нагрева масса воды в кастрюле не меняется, то не меняется скорость нагрева $\Delta t/\Delta \tau=5~^{\circ}\mathrm{C}/мин$. Значит конечная температура равна $t_{к}=t_{0}+10\tau_{0}\frac{\Delta t}{\Delta \tau}=70~^{\circ}\mathrm{C}$ $(\tau_{0}=1~мин)$.

2  ^?? Определите наименьшее возможное значение массы $m_{\min}$ воды, доливаемой Глюком в ходе эксперимента.

Пусть масса добавляемой воды в процессе эксперимента $\Delta m$. К моменту времени $8\tau_{0}$ нагреватель выделит количество теплоты $N8\tau_{0}$. Оно равно сумме количества теплоты $cm(t_{45}-t_{0})$, полученного водой массой $m$ (оставшейся в сосуде после выливания) и количества теплоты $c\Delta m(t_{x}-t_{0}),$ полученного водой массой $\Delta m$. Т.е.
$$8N\tau_{0}= cm(t_{1}-t_{0} )+c\Delta m(t_{x}-t_{0}),$$где $t_{x}$ — температура воды в момент её забора. Причём $t_{x} < t_{1}$.

С учётом этого и вышеприведенных уравнений получаем
$$\Delta m=\frac{m}{t_{x}-t_{0}}\left(8\tau_0 \frac{t_{2}-t_{1}}{\tau_{2}-\tau_{1}} -t_{1}+t_{0}\right).$$ Из данного соотношения видно, что $\Delta m$ принимает минимальное значение при максимально возможном значении $t_{x}=45^{\circ}\mathrm{C}$. Откуда $m_{\min}=3~кг$.

3  ^?? Найдите самый ранний от начала нагрева момент времени $\tau_{\min}$, когда мог происходить забор воды из кастрюли.

Пусть $\tau$ — время, когда происходил забор воды из кастрюли. Исходя из того, что объём кастрюли $10~л$, максимальная масса добавляемой воды может быть равна $m=5~кг$.

Тепло, выделившееся на нагревателе к моменту времени $\tau$: $$N\tau=cm(t_{x}-t_{0} )+c\Delta m(t_{x}-t_{0}).$$С учётом этого и соотношений для мощности плитки, выделяемой за время $8\tau_{0}$ получаем:
$$\tau=\frac{c(m+\Delta m)}{N} \frac{8N\tau_{0}-cm(t_{1}-t_{0})} {c\Delta m}=\left(\frac{m}{\Delta m}+1\right)\cdot \frac{8N\tau_{0}-cm(t_{1}-t_{0})}{N}.$$Откуда видно, что $\tau=\tau_{\min}=6~мин.$ при $\Delta m=\Delta m_{\max}=m$.

Также можно решать эту решать задачу графически в системе координат «время-температура». График процесса нагрева в этих координатах будет состоять из трех отрезков прямых: первый — до долива (масса воды в кастрюле $m=5~кг$), второй — после долива (масса воды в кастрюле $m+\Delta m$) и третий — после забора воды (масса воды в кастрюле $m$).

Возьмем известные нам точки 1 и 2 и проведем через них прямую. На этой прямой лежит отрезок графика, соответствующий третьему участку. Учитывая, что масса воды на третьем и первом участке одинакова, прямые, на которых они лежат, должны быть параллельны, так как мощность нагрева постоянна. Проведем прямую, параллельную нашей и проходящую через начало координат (время — $0~мин$, температура — $20~^{\circ}\mathrm{C}$). Именно на этой прямой лежит график первого участка. По ней также можно определить температуру $t_{к}$, которую имела бы вода в кастрюле, если бы её масса не менялась со временем. Температура, соответствующая 10 минутам и есть искомая $t_{к}=70~^{\circ}\mathrm{C}$.

По наклону этой прямой можно также определить мощность плитки $N=\frac{cm\Delta t}{\Delta \tau}=1.75~кВт$.

Когда в кастрюлю доливают воду, масса в ней увеличивается, а температура уменьшается. Поскольку изменение температуры происходит мгновенно, график перескакивает на прямую, имеющую наклон, соответствующий новой массе, и проходящую через начало координат. Чем масса больше, тем более полого пойдет прямая. А её пересечение с прямой третьего участка даст момент забора воды.

Поскольку кастрюля десятилитровая, больше 5 литров долить в неё невозможно. Этому случаю соответствует нижняя (голубая) прямая. Именно она пересекается с прямой третьего участка раньше любой другой возможной (в точке 3, соответствующей $\tau_{\min}=6~минут$).

В то же время, второй участок не может пересечься с третьим позже точки 1, которой соответствует минимальная добавочная масса $m_{\min}=3~кг$.